Si el espacio es curvo, ¿es posible tener una línea verdaderamente recta? ¿Todas las líneas rectas percibidas se curvarían si se extendieran lo suficiente?

Answer 1

El espacio es, de hecho, curvo. Esta es la base de la Teoría general de la relatividad de Einstein: que la presencia de masa provoca la curvatura del espacio. Esto ha sido muy bien probado por muchos experimentos científicos, y siempre se ha encontrado que es cierto.

El problema es con la idea de “curva”. Por ejemplo, imagine que está tratando de dibujar una línea recta en la superficie de una pelota. Comienzas, dibujando la línea en una dirección, y sigues dibujando la línea, tan “recta” como puedas. Muy pronto, descubrirá que está de vuelta en el punto donde comenzó, y que su línea es en realidad un gran círculo en la superficie de la pelota (http://en.wikipedia.org/wiki/Gre… )

Hiciste algo malo? En una palabra, no. Dibujaste una línea perfectamente recta. El problema es que el espacio en el que lo dibujó no era un espacio euclidiano (ese es el término técnico para un espacio plano y sin curva).

La cuestión es que cuando no estás trabajando en un espacio euclidiano, tu intuición normal sobre la geometría está equivocada. Por ejemplo, en el espacio euclidiano, dos líneas paralelas nunca se cruzan. En la superficie de una esfera, por otro lado, dos líneas paralelas * siempre * se cruzan, ¡y lo hacen en dos puntos! Tomemos, por ejemplo, dos líneas de longitud (digamos 30 grados oeste y 31 grados oeste). Son paralelos en el ecuador, ¡pero se cruzan entre sí en los polos norte y sur!

Ahora, podría decir que cuando dibuja una línea en la superficie de una pelota, la línea puede parecer recta en función de cómo estaba moviendo su bolígrafo, pero desde su punto de vista, sosteniendo la pelota en sus manos, puede ver que la supuesta línea “recta” es en realidad un círculo en un espacio tridimensional. Este es un buen argumento, y uno podría pensar en aplicarlo a una línea que dibujamos en el universo. El problema es que no hay forma de “salir” del universo y observar nuestra línea desde una dimensión superior.

Una hormiga, caminando a lo largo de su línea en la superficie de la pelota, estaría completamente convencida de que estaba siguiendo una línea recta. Eso es porque esa hormiga pobre no puede salir a la tercera dimensión. Desde su perspectiva 2d, la línea es recta. Desde su perspectiva 3d, es curva.

Entonces, ¿quién tiene razón?

Bueno, ustedes dos lo son. Cada uno solo está trabajando con diferentes sistemas de coordenadas. La hormiga está pensando en la geometría en la superficie de una esfera. En su mundo, todas las líneas perfectamente rectas vuelven a donde comenzaron. Usted, por otro lado, está pensando en la geometría en 3d, el espacio euclidiano. Para ti, todas las líneas rectas deben continuar para siempre y nunca cruzarse.

Entonces, ¿qué sucede si tratas de dibujar una línea en el espacio?

Si estamos hablando de un espacio euclidiano 3d, entonces la línea continuará para siempre y nunca se intersecará a sí misma, ni a ninguna otra línea paralela a ella. El problema es que el universo real no es en realidad un espacio euclidiano en 3D. El espacio, en nuestro universo, está curvado por la presencia de masa de formas complicadas, por lo que las líneas que parecen ser rectas podrían cambiar de dirección. La luz, por ejemplo, siempre sigue una línea recta, pero debido a la curvatura del espacio, podemos observar efectos como lentes gravitacionales (http://en.wikipedia.org/wiki/Gra…).

El problema es que, para usted, de cualquier manera que lo mida, todas sus líneas “rectas” parecerán ser rectas. Debido a que no puedes “salir” del universo, eres como la hormiga en la superficie de la pelota, que piensa que su línea es recta, a pesar de que vuelve a su comienzo, porque eso es lo que hacen las líneas rectas en su mundo .

Entonces, si estaba tratando de dibujar una línea recta en el espacio, seguramente podría tener éxito, aunque podría parecer curvo para algún observador superior. Todo depende de qué tipo de geometría esté usando para describir el espacio.

Answer 2

La respuesta simple a su pregunta es, en general, ‘no’: en un espacio curvado arbitrariamente o en un espacio físico real, no es posible dibujar una línea verdaderamente recta, si por línea recta se refiere a una que sigue en el mismo dirección para siempre, sin intersectarse, y que representa la distancia más corta entre dos puntos, aunque debemos tener cuidado de cómo definimos los términos ‘dirección’ y ‘distancia más corta’. (Por supuesto, siempre podríamos construir un espacio curvo que contenga líneas rectas, si imaginamos comenzar con una línea recta y luego traducirla para que ‘arrastre’ una superficie bidimensional detrás de ella, y si también giramos esta recta A medida que avanzamos, la superficie resultante puede curvarse de manera arbitraria. Y si hacemos una elección específica del sistema de coordenadas local que incrustamos en esta superficie, entonces podría ser el caso de que algunos puntos en esta superficie pudieran ser conectados por líneas rectas que también serían la distancia más corta entre ellos, pero esta superficie sería una construcción muy artificial, puramente matemática, y no podría usarse para modelar con precisión el espacio físico real).

La línea “recta” de intuición común es, de hecho, un caso especial de un tipo de curva conocida como geodésica. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Geo …) En realidad, son las geodésicas las que representan la distancia más corta entre dos puntos en un espacio de una geometría dada. La línea recta es simplemente la geodésica para el espacio plano euclidiano. También tiene la propiedad especial de que, para dos puntos en el espacio euclidiano, la línea recta entre ellos es única ; solo hay una de esas líneas. Sin embargo, puede haber muchas geodésicas entre dos puntos en un espacio curvo, incluso un número infinito, como en el caso de los grandes círculos en una esfera que conecta los polos norte y sur.

El concepto de geodésica encontró una aplicación importante en la Relatividad General (GR) de Einstein, donde reemplazaron la línea recta en la Primera Ley del Movimiento de Newton: “ Cualquier cuerpo que no sea afectado por una fuerza externa permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme en línea recta “- y permitió a Einstein reescribir esto como la Ley del Movimiento Geodésico -” Los objetos en caída libre (es decir, los objetos que no experimentan una fuerza externa) se mueven a lo largo de caminos geodésicos en el espacio-tiempo curvo “. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Gra …).

Tenga en cuenta que, según GR, la gravedad ya no es una fuerza en el sentido clásico (aunque, según la física cuántica, debería ser una fuerza en el sentido cuántico (es decir, tener un campo de medición y una partícula portadora correspondientes), que es uno de las áreas donde la teoría cuántica y GR no están de acuerdo, y por qué necesitamos una teoría cuántica de la gravedad), pero es la curvatura intrínseca del espacio-tiempo en sí, causada por la presencia de masa (y energía). La relación entre la masa y la curvatura del espacio-tiempo que causa es realmente bastante complicada desde una perspectiva matemática, y se resume en las Ecuaciones de campo de Einstein para la gravedad ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ein …), que se derivaron originalmente y ¡expresado en el lenguaje del cálculo general de tensor como un conjunto de dieciséis ecuaciones diferenciales de tensor (antes de tener en cuenta las simetrías y cancelaciones entre los diversos términos)! Todos los términos que representan la curvatura espacio-temporal (llamado tensor de Einstein ) aparecen en un lado de la ecuación, y todos los términos que representan masa, energía, momento y presión (llamado tensor de energía de estrés ) aparecen en el otro lado.

Todos los términos de curvatura derivan en última instancia de algo llamado tensor métrico ( http://en.wikipedia.org/wiki/Met …), que define cómo se calculan las distancias en el espacio-tiempo curvo alrededor de un cuerpo masivo (aunque se pueden usar tensores métricos) para este propósito en aplicaciones geométricas generales, también). Una vez que tenga la métrica, puede calcular la longitud de cualquier curva particular entre dos puntos en ese espacio-tiempo curvo. Dado un conjunto infinito parametrizado de tales curvas, luego elige la que tiene la longitud mínima (pero tenga en cuenta que esta es una longitud de espacio-tiempo de cuatro dimensiones ahora, no una longitud tridimensional, puramente espacial), utilizando cálculo variacional ( http: / /en.wikipedia.org/wiki/Cal …), y esto te da la geodésica, que es el camino que una partícula en caída libre realmente seguiría entre esos dos puntos.

El uso de la geodésica en GR es conceptualmente muy elegante, aunque matemáticamente bastante complicado, como he dicho. Por esta razón, muchos cálculos relativos al movimiento de objetos en campos gravitacionales todavía se realizan utilizando la teoría de la gravedad de Newton, ya que es mucho más simple matemáticamente, a menos que se requiera una precisión extrema (como, por ejemplo, en el posicionamiento y señalización de satélites en el La red GPS, que en realidad requiere GR), o las condiciones son tales que la teoría de la gravedad newtoniana se rompe y ya no es aplicable (como en el caso de los agujeros negros o las velocidades relativistas).