Llegaremos a eso, pero primero consideremos esto: podríamos haber comenzado probando el teorema y luego usándolo para probar lo contrario. Entonces no tendríamos que ‘asumirlo’. De todos modos, eso no es lo que pediste, así que sigue adelante.
Una prueba geométrica muy trivial sería considerar las áreas del triángulo usando la fórmula de Heron:
[matemáticas] \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}, [/ matemáticas]
Donde [math] s = \ dfrac {a + b + c} {2} [/ math] y [math] a, b, c \, \ text {son lados del triángulo}. [/ Math]
- Si el espacio es curvo, ¿es posible tener una línea verdaderamente recta? ¿Todas las líneas rectas percibidas se curvarían si se extendieran lo suficiente?
- ¿Qué es un hipercubo?
- ¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección entre una forma de n lados y un círculo?
- ¿Cuál es la fórmula para la distancia entre dos puntos?
- ¿Cuáles son los pros y los contras de los espacios de estacionamiento en ángulo?
Si realmente resolvió la ecuación y sustituye [matemática] c ^ 2-a ^ 2 = b ^ 2 [/ matemática] en los lugares correctos, el área resultaría ser:
[matemáticas] \ frac {1} {2} ab, [/ matemáticas]
Y como [math] a \, (\ text {or} b) [/ math] es un lado, el otro debe ser perpendicular porque el área de un triángulo también viene dada por [math] \ frac {1} { 2} \ text {base} \ cdot \ text {perpendicular} [/ math]. Entonces es un triángulo rectángulo en ángulo. [matemáticas] \ qed [/ matemáticas].
Alternativamente, también puede usar la ley seno de triángulos para demostrar que: [matemática] sin ^ 2 (A) + sin ^ 2 (B) = sin ^ 2 (C). [/ Matemática]
Créditos de imagen: Yo; dibujar formas en una aplicación móvil es un fastidio.
Por ley senoidal, [matemática] \ dfrac {c} {sin (C)} = \ dfrac {b} {sin (B)} = \ dfrac {a} {sin (A)} [/ matemática]
Y dado que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
Te dará, [matemáticas] pecado ^ 2 (A) + pecado ^ 2 (B) = pecado ^ 2 (C) [/ matemáticas]
Y use el hecho de que [matemáticas] A + B + C = 180 ° [/ matemáticas]
Y encontrarás que [matemáticas] sin (A) sin (B) cos (A + B) = 0 [/ matemáticas]
Ya sea, [matemática] sin (A) = 0 [/ matemática], o [matemática] sin (B) = 0 [/ matemática], o [matemática] cos (A + B) = 0, [/ matemática]
Y dado que la ley sinusoidal básicamente divide los senos, [matemática] sin (A) [/ matemática] y [matemática] sin (B) [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática].
Esto implica [matemáticas] cos (A + B) = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (A + B) = 90 ° [/ matemáticas].
No se preocupe si no puede alcanzar el resultado. Aquí hay una foto de referencia: https://imgur.com/a/fMP1A. Un trabajo apresurado, ¿qué puedo decir?
Ahora … ¿no geométrico? El teorema de Pitágoras es un problema geométrico. La misma declaración pide los números para formar un triángulo rectángulo .
Usted dice que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas], y luego prueba que caen en un triángulo rectángulo. Pero si le pide a alguien que lo pruebe sin usar un triángulo, ¿qué parámetros desea? ¿Cómo traduces eso? Entonces su pregunta es realmente discutible.
Si quería ver una solución que no tuviera una construcción geométrica, ya he respondido a eso. En realidad, el área no necesitaba que dibujara el diagrama. ¿Pero es no geométrico? No puedo decirlo, porque no sé qué definición tienes en mente para ello.
De todos modos, puedes intentar ser inteligente.
Probemos algo.
Ahora, idealmente, puede tratar un número complejo como un vector en la mayoría de los casos que involucran sumas, restas y magnitudes.
Entonces considere un número complejo:
[matemáticas] z = [/ matemáticas] [matemáticas] | z | (cos \ theta + \ iota sin \ theta) = (a + \ iota b) [/ matemáticas]
Donde, a es un punto en el eje real, yb es un punto en el eje imaginario (podemos hacer esto sin perder la generalidad, lo cual es increíble).
Entonces, sabemos que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (a + \ iota b) (a- \ iota b) = z \ bar {z} = | z | ^ 2 [/ matemáticas]
Pero se nos da que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
[math] \ implica [/ math] [math] c = \ pm | z | [/ math] (El signo [math] \ pm [/ math] está bien porque no nos importa si [math] b [/ matemática] o [matemática] a [/ matemática] están en el lado positivo / negativo de sus ejes)
Entonces [math] c [/ math] es en realidad el tercer lado del triángulo rectángulo formado por [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. (Como sabemos que [math] | z | [/ math] es la hipotenusa de tal triángulo, y [math] c = | z | [/ math])
El problema es que es un poco circular. El hecho de que la magnitud ([matemática] | z | [/ matemática]) es el tercer lado generalmente se deriva del teorema de Pitágoras.
Por supuesto, eso no significa que si el teorema de Pitágoras no fuera probado, no habría habido forma de llegar a esa conclusión. De hecho, la trigonometría es nuevamente la clave.
De nuevo. ¿No es geométrico? Quiero decir, ¡ni siquiera consideramos un triángulo en nuestra situación! Para ser honesto, no tengo idea si es así.
Pero incluyo esta última pieza sobre números complejos aquí por otra razón, porque hay una forma fascinante de visualizar este teorema inverso. Muy bien, un desvío rápido aquí.
- Cuando multiplica dos números complejos, se suman los ángulos que forman con el eje real.
- De nuevo, probado, utilizando funciones trigonométricas. Dios, están en todas partes, Kenny.
- Cuando multiplica dos números complejos, escala la longitud del primer vector por un factor de la magnitud del segundo.
- Lo que digo es que supongamos que hay una línea que une [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] en la recta numérica. Cuando digo “escalar la longitud de un vector por un factor de, por ejemplo, [matemática] 10 [/ matemática]”, le pido que estire la recta numérica hasta que el número [matemática] 1 [/ matemática] aterrice en el lugar donde solían estar [math] 10 [/ math].
Aquí hay un artículo para entender la idea. https://www.khanacademy.org/math…
Entonces, cuando digo multiplicar un número complejo con su conjugado, quiero decir que vamos a imponer la longitud del vector que representa el número en el eje real (ya que el ángulo del número y su conjugado son iguales) y luego cuadrada su magnitud.
En otras palabras, visualice un segmento de línea (o una escalera) en un plano complejo (o el suelo). Deje que el segmento de línea caiga en el suelo horizontal. Y cuadrar la longitud de la misma.
Básicamente, puedes ver, en tu mente, cómo [matemáticas] z \ bar {z} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ texto {(magnitud de z)} ^ 2 [/ matemáticas]
Que es igual a [math] (a + \ iota b) (a- \ iota b) = [/mathfont>[mathfont>a^2+b^2.[/math]
Esta no es una prueba no geométrica (no creo que haya una prueba puramente no geométrica), pero este método es una forma no convencional de imaginarlo, de todos modos. Y su pregunta parecía preguntar eso. Y es una forma muy divertida de pensarlo.
