¿Cuáles son las diferencias prácticas entre SVD y las transformaciones wavelet en el análisis de datos?

Answer 1

La principal diferencia entre los dos es que las transformaciones wavelet usan una base wavelet mientras que SVD / PCA usa una base de función propia derivada de los datos. Ambos ofrecen la misma funcionalidad, es decir, aproximación de señales, y por lo tanto parecen parecerse entre sí. Pero sus propiedades generales son diferentes. La razón para favorecer wavelet / Fourier y otras bases sin derivación de datos es que para la compresión de la señal solo tiene que almacenar los coeficientes de la transformación y no la base misma. No podría invertir una transformación PCA sin conocer también los vectores propios.

Una base de wavelet es deseable cuando la señal que está tratando de descomponer tiene características altamente localizadas / variaciones repentinas como bordes en imágenes o singularidades de puntos en una serie de tiempo. Es bien sabido que las aproximaciones lineales son subóptimas para representar señales que no son suaves, es decir, no se encuentran en elipsoides. Como señaló Laurent Duval, las wavelets forman una aproximación no lineal de una señal y, por lo tanto, superan las aproximaciones lineales para tales señales. La descomposición wavelet-vagueluette es una descomposición similar a SVD que utiliza la base wavelet y ofrece una mejor aproximación de la señal dada las características localizadas. [1] ofrece una mejor introducción a la utilidad de las wavelets y las descomposiciones wavelet-vaguelette, así como referencias adicionales.

[1] Wavelets y WVD Tour de 10 minutos http://www.stanford.edu/~slansel…

Answer 2

Son diferentes formas (en diferentes casos de uso) de definir escasa
representaciones (es decir, algunos coeficientes que cuentan la mayor parte de la historia) para señales, descomponiendo las formas de onda elementales que pertenecen a la familia de diccionarios, de modo que podamos buscar señales para obtener información a un costo computacional más bajo *, dada la gran cantidad de datos que llevan .

La base ortonormal es un diccionario de tamaño mínimo que puede dar un
Representación (geométrica) de la energía de la señal utilizando un conjunto de algunos vectores.
Deje que [math] f = \ Sigma_ {m \ in \ tau} a_m g_m [/ math] sea la representación de f en base ortonormal (un diccionario *) [math] \ beta = g_ {m_ {m \ in \ tau} } [/ math]. Se debe recuperar una aproximación de
[matemáticas] Y = \ Sigma_ {m \ in \ tau} a_m Ug_m + W [/ matemáticas]
[math] \ beta [/ math] diagonaliza [math] U * U [/ math], luego U transforma un subconjunto Q [math] g_m, m \ in \ tau_q [/ math] de [math] \ beta [/ math ] en base ortonormal de [matemáticas] Im (U) [/ matemáticas] y establece todos los demás vectores a 0. (reducción de ruido extrema)
SVD determina los coeficientes [matemática] a_m [/ matemática] de f proyectando Y en [matemática] \ beta [/ matemática] y remormalizando los resultados.
[matemáticas] \ forall m \ in \ tau {\ bar a} _m = \ frac {Y, Ug_m} {{Ug_m} ^ 2 + {h_m} ^ 2} [/ math]
(h_m son parámetros de regularización). *
En resumen, reduce la dimensionalidad y el ruido a un alto costo computacional.
La base que diagonaliza [matemática] U * U [/ matemática] (p. Ej., Base de Fourier en caso de operador de convolución) rara vez se aproxima bien a las señales, incluida la singularidad (cf: Riesz / base biortogonal)
[Es necesario mantener la ortogonalidad, mientras se cambia b / w continuo a modelos discretos de frecuencia de tiempo, ya que el primero no es suficiente para elaborar los algoritmos para señales discretas]
Una base de wavelet define una representación dispersa de regular por partes
señales, que pueden incluir transitorios y singularidades. En las imágenes, los coeficientes wavelet grandes se encuentran cerca de los bordes y las texturas irregulares, por ejemplo, dilataciones y traslaciones de
[matemáticas] \ phi (t) =
\ begin {cases}
1 &: 0 \ leq x \ leq \ frac {1} {2} \\\\
-1 &: \ frac {1} {2} \ leq x \ leq 1 \\\\
0 &: \ text {de lo contrario}
\ end {casos}
[/matemáticas]
Produce bases ortonormales de espacio [math] \ mathbb {L} ^ 2 \ mathbb {R} [/ math] de señales con energía finita. Cualquier señal de energía finita f puede ser representada por sus coeficientes de producto interno wavelet y recuperarse sumando en esta base ortonormal wavelet (n para la enésima base):
Si una señal f es localmente regular y [matemática] 2 ^ f [/ matemática] es pequeña por enésima base, entonces es casi constante durante el intervalo [matemática] [2 ^ fn, 2 ^ f (n + 1)] [/ math] y el coeficiente wavelet es ~ 0. Esto significa que los coeficientes grandes se ubican cerca de los bordes solamente.

* La paralización también puede ayudar.

Answer 3

SVD construye algunas bases propias estacionarias adaptadas, mientras que una transformada wavelet se proyecta en una base fija o marco, pero permite representaciones adaptativas (por ejemplo, paquetes no lineales o wavelet), a veces más adecuadas para características no estacionarias.