Estoy interpretando la pregunta como: “Dado que el polinomio se puede factorizar, ¿por qué este procedimiento funciona para encontrar la factorización?” Como estoy considerando la existencia de una factorización como algo dado, comencemos por la respuesta y veamos qué nos dice eso.
Supongamos que tiene un polinomio que se puede factorizar como:
[matemáticas] (A x + B) (C x + D) [/ matemáticas]
Multipliquemos esto y mantengamos los valores en términos de estos cuatro coeficientes originales. De esa manera, cuando ejecutamos el algoritmo de “división del término medio”, podemos ver lo que realmente está sucediendo.
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Entonces comenzamos con:
[matemáticas] AC x ^ 2 + (AD + BC) x + BD [/ matemáticas]
Entonces, en términos de la forma [math] ax ^ 2 + bx + c [/ math] tenemos:
[matemáticas] a = AC [/ matemáticas]
[matemáticas] b = AD + BC [/ matemáticas]
[matemáticas] c = BD [/ matemáticas]
Ahora ejecutemos el algoritmo.
1) Encuentra el producto maestro
[matemáticas] \ text {mp} = a \ cdot c = AC \ cdot BD = ABCD [/ math]
2) Encuentre dos factores del producto maestro que sumen [math] b [/ math]
En términos de la respuesta final, vemos que el producto maestro es [math] ABCD [/ math]. Por lo tanto, tiene como factores A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, etc. También tiene como factores los factores respectivos de A, B, C y D, pero resulta que no necesitamos aquellos.
El objetivo es encontrar alguna combinación de factores de [matemática] ABCD [/ matemática] que se sumen a [matemática] b = AD + BC [/ matemática]. Como ya estamos expresando todos los valores en términos de lo que sabemos que eventualmente será la respuesta, esencialmente tenemos visión de rayos X en los números, y es fácil ver que la forma de hacerlo es factorizar [matemática] ABCD [/ math] en [math] AD [/ math] y [math] BC [/ math]. Cuando no conoce la respuesta de antemano, esencialmente está encontrando [matemática] AD [/ matemática] y [matemática] BC [/ matemática] por prueba y error.
3) Divida el término central (b) en los dos factores elegidos
Tenga en cuenta que, con nuestra visión de rayos X, vemos el polinomio inicial original sin factorizar de esta manera:
[matemáticas] AC x ^ 2 + (AD + BC) x + BD [/ matemáticas]
Como descubrimos en el paso 2 que los dos factores que queremos usar son [math] AD [/ math] y [math] BC [/ math], el paso 3 ahora consiste en reescribir el polinomio de esta manera:
[matemáticas] AC x ^ 2 + AD x + BC x + BD [/ matemáticas]
¡En la visión de rayos X, este paso parece ridículamente obvio ahora!
4) Agrupe los términos en pares y extraiga factores comunes
Bien, veamos. El primer par es [matemática] AC x ^ 2 + AD x [/ matemática].
Con la visión de rayos X, vemos que claramente [matemáticas] A x [/ matemáticas] es un factor de ambos términos, por lo que lo escribiremos como [matemáticas] A x (C x + D) [/ matemáticas]. Sin visión de rayos X, llegarías a la misma conclusión, pero tendrías que adivinar y comprobar para saber qué es A.
El otro par es [matemática] BC x + BD [/ matemática], que ahora se convierte en [matemática] B (C x + D) [/ matemática].
5) Factorizar el binomio común
Ahora tenemos [matemáticas] A x (C x + D) + B (C x + D) [/ matemáticas]. Era inevitable que hubiera un binomio común, porque esta es la forma en que comenzamos originalmente antes de expandirlo. Bueno, empezamos muy cerca de esto; solo deshaga el primer paso de la expansión y obtendrá:
[matemáticas] (A x + B) (C x + D) [/ matemáticas]
Entonces, al final, la razón por la que funciona el procedimiento es porque, si se puede factorizar un polinomio , los valores a, byc no pueden tener cualquier valor. Deben tener ciertos valores que dependen de la respuesta. El procedimiento aprovecha las relaciones entre a, b, c y A, B, C, D para encontrar un conjunto del otro conjunto. Básicamente, está resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones para A, B, C, D usando a, b, c como da:
(1) [matemáticas] a = AC [/ matemáticas]
(2) [matemáticas] b = AD + BC [/ matemáticas]
(3) [matemáticas] c = BD [/ matemáticas]
Al principio, parece que hay cuatro incógnitas ( A, B, C, D ) y solo tres ecuaciones. Sin embargo, en realidad solo hay tres incógnitas independientes porque hay múltiples valores de A, B, C, D que producirán los mismos valores de a, b, c . Mostrar que A, B, C, D no son independientes es un ejercicio para el lector.