¿Cómo se obtendría [matemáticas] \ frac {(k) (k + 1) (2k + 1)} {6} + (k + 1) ^ 2 [/ matemáticas] para igualar [matemáticas] \ frac {(k + 1) (k + 2) (2k + 3)} {6} [/ matemáticas] sin manipular el lado derecho?

Answer 1

¿Ha notado LHS … La primera parte de LHS es la fórmula de la suma del cuadrado del primer k número natural.
[matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 1} ^ kn ^ 2 = \ frac {(k) (k + 1) (2k + 1)} {6} [/ matemáticas]

Y la segunda parte es un cuadrado de (k + 1) número natural
Por lo tanto, el total sería la suma del cuadrado del primer número natural (k + 1).
Entonces, si pones k = k + 1 en la fórmula anterior, obtendrás RHS sin ninguna manipulación.

PD: Usted pidió una solución sin manipular el lado derecho, para que podamos manipular el lado izquierdo 😛

LHS = [matemáticas] \ frac {(k) (k + 1) (2k + 1)} {6} + (k + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(k) (k + 1) (2k + 1) +6 (k + 1) ^ 2} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) ((k) (2k + 1) +6 (k + 1))} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) (2k ^ 2 + k + 6k + 6)} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) (2k ^ 2 + 7k + 6)} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) (2k ^ 2 + 4k + 3k + 6)} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) (2k (k + 2) +3 (k + 2))} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {(k + 1) (k + 2) (2k + 3)} {6} [/ matemáticas]

Answer 2

Manera fácil: dos polinomios de enésimo grado son iguales si están de acuerdo en n + 1 lugares. Así que solo calcule en 0, -1, -2, +1 (intenté elegir ceros para simplificar el trabajo) y compare los resultados. El aspecto divertido de este método es que se puede * probar * que, por ejemplo, la suma de los primeros n naturales es n * (n + 1) / 2 probando tres ejemplos.

Answer 3

{[k (k + 1) (2k + 1)] / 6} + (k + 1) ^ 2 = {[k (k + 1) (2k + 1)] / 6} + (1) (k + 1) ^ 2

= {[k (k + 1) (2k + 1)] / 6} + (6/6) (k + 1) ^ 2

= (1/6) (k + 1) [k (2k + 1) + 6 (k + 1)]

= (1/6) (k + 1) [2k ^ 2 + k + 6k + 6]

= (1/6) (k + 1) (2k ^ 2 + 7k +6)

= (1/6) (k + 1) (2k + 3) (k + 2)

= (1/6) (k + 1) (k + 2) (2k + 3)