Un círculo contiene (0,0), (6,8) y (7,7). Encuentra su ecuación resolviendo un sistema de 3 ecuaciones. Por favor, ayuda a configurar el sistema. Además, varias parábolas contienen estos 3 puntos, pero solo uno se describe mediante una función cuadrática. Por favor, ayuda a encontrar y explicar esa función.

Answer 1

Hay un método mucho más rápido para resolver esto si observa el círculo, pero le daré el método que solicitó primero. Entonces el más rápido.

La propiedad de un círculo es que el centro es equidistante de cada punto.

Deje que el centro sea algún punto (a, b)

Distancia de (0,0) a (a, b) = Distancia de (6,8) a (a, b)

Distancia de (0,0) a (a, b) = Distancia de (7,7) a (a, b)

Entonces tienes (me estoy deshaciendo de las raíces cuadradas por simplicidad):

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] (a-6) ^ 2 + (b-8) ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] a ^ 2 – 12a + 36 + b ^ 2 – 16b + 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] (a-7) ^ 2 + (b-7) ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] a ^ 2 -14b + 49 + b ^ 2 – 14b + 49 [/ matemáticas]

en ambas ecuaciones, puedes deshacerte de los términos cuadráticos.

Así que tienes:

[matemáticas] 12a + 16b = 100 [/ matemáticas]
[matemáticas] 14a + 14b = 98 [/ matemáticas]

2 ecuaciones, 2 incógnitas. Úselos para encontrar el centro. Para encontrar el radio, encuentre la distancia desde (a, b) a (0,0) (o cualquier otro punto en el círculo)

Dado el centro (a, b) y el radio (r), la ecuación será

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (xb) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Método más rápido

Mira el triángulo formado por los 3 puntos.

La pendiente del segmento de línea de (6,8) a (7,7) es -1, pero la pendiente de (0,0) a (7,7) es 1, lo que significa que son perpendiculares entre sí.

Esto significa que este es un triángulo en ángulo recto dentro del círculo.
Eso significa que el lado más largo (0,0) a (6,8) es la hipotenusa, y también un diámetro.

Lo que significa que el centro es el punto medio (3,4) y el radio es la distancia de (3,4) a (0,0) que es 5.

Entonces la ecuación es [matemáticas] (x-3) ^ 2 + (x-4) ^ 2 = 25 [/ matemáticas]

Answer 2

¿Cuál es la ecuación general para un círculo? Debe haber tres incógnitas, a saber (a, b), las coordenadas del centro del círculo y r el radio del círculo. Tienes tres puntos en el círculo, que deberían darte tres ecuaciones. Resuelve el sistema y obtienes a, byr.

La segunda parte es similar: ¿cuál es la expresión general para una función cuadrática? Una vez más, hay tres incógnitas, use los tres puntos para obtener un nuevo sistema y resolver.

Answer 3

Primero para encontrar la ecuación del círculo a través de los 3 puntos.

Hay varias formas de hacerlo y un método es usar un teorema de la geometría que dice que las bisectrices perpendiculares del lado de un triángulo se intersecarán en un punto que es el centro de un círculo que circunscribe el triángulo.

Así tendremos un círculo a través de los 3 puntos dados.

Los puntos medios de cada lado se pueden encontrar mediante la fórmula del punto medio ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).
La pendiente de cada lado del triángulo se encuentra por (y2-y1) / (x2-x1) para cada lado.
La pendiente de las líneas perpendiculares a cada lado es el recíproco negativo de cada pendiente del lado (producto = -1).

Luego puede usar el proceso estándar de punto – pendiente para encontrar la ecuación de cada una de las líneas bisectrices perpendiculares a cada lado.
En este caso son:
(0,0) y (6,8) -> y = (-3/4) x + 25/4
(6,8) y (7,7) -> y = x + 1
(0,0) y (7,7) -> y = -x + 7
Usando un poco de álgebra para 3 ecuaciones y 3 incógnitas, puedes encontrar la intersección de estas líneas que te dará el centro del círculo. Para este caso x = 3 e y = 4.

El radio si el círculo es la distancia desde el centro a uno de los tres puntos en el triángulo / círculo.
Usando la fórmula de distancia d ^ 2 = (x2-x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2 para cualquiera de los tres puntos y puntos (3,4) obtenemos un radio de 5.

Así, la ecuación del círculo es: (x-3) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = 25

En segundo lugar la parábola.
Las ecuaciones estándar de una parábola son:
y = ax ^ 2 + bx + c
Usando los 3 puntos, creamos las 3 ecuaciones para resolver a, b, c
0 = c
8 = 36a + 6b
7 = 49a + 7b

Lo que nos dará: a = -1/3 y b = 10/3 y c = 0
y = (-1} / 3) x ^ 2 + (10/3) x

o la parábola podría ser simétrica al eje x (en este caso no es una función).
x = y ^ 2 + bx + c
Usando los 3 puntos, creamos las 3 ecuaciones para resolver a, b, c
0 = c
6 = 64a + 8b
7 = 49a + 7b

Lo que nos dará: a = -1/4 y b = 11/4 y c = 0
x = (-11/4) y ^ 2) + (11/4) y

Para una solución rápida usando Wolfram Alpha puede ingresar:
circule por (0,0), (6,8) y (7,7) y
parábola hasta (0,0), (6,8) y (7,7)