¿Existe una descripción intuitiva para la estructura de los números p-adic?

Answer 1

Soy consciente de dos construcciones diferentes de los p-adics. Uno tiene una sensación más algebraica, y el otro es más analítico.

Primero, comenzaremos con la construcción algebraica. Deje que [math] p [/ math] sea primo. Antes de construir los números p-adic [math] \ mathbb {Q} _p [/ math], construiremos algo un poco más pequeño, los enteros p-adic, generalmente denotados [math] \ mathbb {Z} _p [/ math] . Un elemento de [math] \ mathbb {Z} _p [/ math] es una tupla infinita [math] (a_i) _ {i = 1} ^ \ infty [/ math], donde [math] a_i \ in \ mathbb { Z} / p ^ i \ mathbb {Z} [/ math]. Sin embargo, no admitimos todas las tuplas; solo queremos aquellos que sean coherentes con respecto a los mapas de proyección natural de [math] \ mathbb {Z} / p_i \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p_j \ mathbb {Z} [/ math] para [ matemáticas] i \ geq j [/ matemáticas].

La idea aquí es que queremos capturar la congruencia mod [math] p ^ i [/ math] para todos [math] i [/ math]. Tenga en cuenta que si sabe para qué es la entrada [math] i ^ {th} [/ math] de un entero p-adic dado, entonces sabe para qué sirve la entrada [math] j ^ {th} [/ math] todo [matemáticas] j \ leq i [/ matemáticas]. Sin embargo, no necesariamente sabes cuáles son las ‘congruencias superiores’.

Una cosa importante a tener en cuenta aquí es que tenemos [math] \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Z} _p [/ math]. ¿Cómo? Para un número entero [math] z [/ math], simplemente registre las congruencias mod [math] p ^ i [/ math] para todos [math] i [/ math]. Por ejemplo, suponga que [matemáticas] p = 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] z = 120. [/ matemáticas] La tupla que corresponde a esto es [matemáticas] (0, 20, 120, 120, \ puntos) . [/ math] La tupla para cualquier número entero regular eventualmente se estabilizará, pero no todas las tuplas en [math] \ mathbb {Z} _p [/ math] tienen que estabilizarse. Es por eso que los enteros p-adic son estrictamente más grandes que los enteros habituales.

De todos modos, un hecho sobre [math] \ mathbb {Z} _p [/ math] es que se trata de un llamado dominio integral. Esto significa que tiene sentido permitir fracciones. Esto es completamente análogo a la situación con [math] \ mathbb {Z} [/ math]; cuando permitimos fracciones en [math] \ mathbb {Z} [/ math], obtenemos los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Bueno, cuando permitimos fracciones en [math] \ mathbb {Z} _p [/ math], obtenemos los números p-adic [math] \ mathbb {Q} _p [/ math].

Ahora hablaremos de la construcción analítica. El punto de partida esta vez son los números racionales [math] \ mathbb {Q}. [/ math] Si dotamos [math] \ mathbb {Q} [/ math] con la topología euclidiana habitual, entonces [math] \ mathbb {Q} [/ math] no está completo. Si lo completamos, obtenemos los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]. Vamos a hacer lo mismo, pero con una topología diferente. Nuevamente, arreglamos un primo [math] p [/ math]. Definamos el [math] p [/ math] -adic vale absoluto en [math] \ mathbb {Q} [/ math] de la siguiente manera: para cualquier [math] q \ en mathbb {Q} [/ math], tenemos [math] q = p ^ r \ frac {a} {b} [/ math] para algunos [math] r \ in \ mathbb {Z} [/ math] y [math] \ operatorname {gcd} (a, b ) = 1 [/ matemáticas]. Luego definimos: [matemáticas] || q || _p: = \ frac {1} {p ^ r}. [/ math] Por ejemplo, si [math] p = 7 [/ math] y [math] q = \ frac {22} {7} [/ math], entonces [math] || q || _p = 7 [/matemáticas]. La idea aquí es que los números que son divisibles por grandes poderes de [math] p [/ math] se consideran pequeños. Como tenemos un valor absoluto, tenemos una norma y, por lo tanto, una métrica en [math] \ mathbb {Q}. [/ math] Ahora, si equipamos [math] \ mathbb {Q} [/ math] con la topología inducida por esta métrica, resulta que [math] \ mathbb {Q} [/ math] no está completa. Al igual que con los números reales, completamos [math] \ mathbb {Q} [/ math] con respecto a esta topología. Al hacerlo, obtenemos los números p-adic [math] \ mathbb {Q} _p. [/matemáticas]

** Editado después del primer comentario:

La idea es que queremos estudiar lo que está sucediendo ‘en un punto p’. La métrica de p-adic inducida por el valor absoluto de p-adic mide qué tan similares son dos números con respecto a p.

Los números p-adic tienen una estructura topológica muy interesante (y extraña). Los p-adics son un espacio topológico totalmente desconectado. Esto hace que el análisis sea un poco más fácil en los p-adics (a diferencia de los reales), ya que las únicas funciones suaves son aquellas que son localmente constantes. (Para tener una idea de lo extraño que es eso, intente imaginar una función suave y localmente constante en los reales. Si encuentra una función que no es constante, ¡avíseme!) Sin embargo, esto tiene algunas características muy buenas. La integración se vuelve mucho más fácil (esencialmente solo series geométricas).

Una caricatura que podría ayudar es un conjunto doblemente infinito de discos concéntricos. Los discos más pequeños representan [math] p ^ i \ mathbb {Z} _p [/ math] a medida que [math] i [/ math] se hace grande, y los discos más grandes son donde [math] i [/ math] se vuelve pequeño. Esta imagen ofrece una buena filtración de los p-adics, y la “naturaleza discreta” de la imagen puede dar una idea de por qué los p-adics están totalmente desconectados. Más precisamente, tenemos:

[math] \ mathbb {Q} _p = \ bigcup_ {i \ in \ mathbb {Z}} p ^ i \ mathbb {Z} _p [/ math]

y cada anillo en la descripción anterior es [math] p ^ i \ mathbb {Z} _p \ setminus p ^ {i + 1} \ mathbb {Z} _p. [/ math]

Answer 2

Con el debido respeto a la respuesta más completa de Neal, este video me pareció útil para comprender los números de p-adic. Comienza un poco lento pero mejora.