He encontrado un resultado con pruebas notables de que este margen no es lo suficientemente grande como para contener.
Relájate, es broma!
Aquí va la solución:
Suponiendo que desea una solución de forma cerrada y no una aproximación, este problema no es realmente difícil de resolver. Conocer uno o dos trucos te hará la vida mucho más fácil.
- Cómo resolver [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ cdots \ int_0 ^ 1 \ frac {dx_1 \, dx_2 \, \ cdots \, dx_n} {1-x_1x_2 \ cdots x_n} [/ math]
- Una elipse tiene la siguiente ecuación [matemáticas] 0.2x ^ 2 + 0.6y ^ 2 = 0.6 [/ matemáticas]. ¿Cuál es la parte de la ecuación de la gráfica que queda del eje y y la parte de la ecuación de la gráfica que está debajo del eje x?
- ¿Cómo resuelvo la ecuación de Schrodinger para números fraccionarios de electrones?
- ¿Cuál es la ecuación publicada más complicada, como en el mayor número de símbolos discretos en una sola ecuación publicada en una publicación académica?
- ¿Cuáles son las ecuaciones eikonales y cómo se derivan?
Puede comprobar por sí mismo que [matemáticas] x ^ {2n} + \ displaystyle \ frac {1} {x ^ {2n}} + 2 = \ Big (x ^ n + \ displaystyle \ frac {1} {x ^ n } \ Big) ^ 2 [/ math]
Usando este simple truco, voy a agregar [matemática] 2 [/ matemática] a ambos lados de la ecuación y factorizarla completamente como un cuadrado. Entonces ahora tenemos,
[matemáticas] X ^ 4 + 2 + \ displaystyle \ frac {1} {X ^ 4} = 20 \ implica \ Big (X ^ 2 + \ frac {1} {X ^ 2} \ Big) = \ sqrt [] {20} [/ matemáticas].
Si ve el patrón, entonces es increíble, estamos listos para comenzar. Con suerte, una iteración más y encontraremos una expresión más fácil para trabajar.
Ahora,
[matemáticas] \ displaystyle X ^ 2 + 2 + \ frac {1} {X ^ 2} = 2+ \ sqrt [] {20} \ implica \ Big (X + \ frac {1} {X} \ Big) ^ 2 = 2+ \ sqrt [] {20} \ implica X + \ frac {1} {X} = \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}}. [/ Math]
Finalmente, ahora tenemos algo que podemos resolver fácilmente (de hecho, usando una fórmula cuadrática para las raíces).
Entonces [matemáticas] \ displaystyle X + \ frac {1} {X} = \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} \ implica \ displaystyle \ frac {X ^ 2 + 1} {X} = \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} \ implica X ^ 2 – \ Big (\ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} \ Big) X + 1 = 0 [/ math]
Usando la fórmula cuadrática para las raíces de esta cuadrática, tenemos [matemáticas] X = \ displaystyle \ frac {-b \ pm \ sqrt [] {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] a = 1, b = \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}}, c = 1 [/ matemáticas]
Finalmente tenemos, [matemáticas] X = \ displaystyle \ frac {- \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} \ pm \ sqrt [] {2 + \ sqrt [] {20} -4}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto X = \ displaystyle \ frac {- \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} \ pm \ sqrt [] {\ sqrt [] {20} – 2}} {2} [ /matemáticas].
Por lo tanto, [matemáticas] X_1 = \ displaystyle \ frac {- \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} + \ sqrt [] {\ sqrt [] {20} -2}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] X_2 = \ displaystyle \ frac {- \ sqrt [] {2+ \ sqrt [] {20}} – \ sqrt [] {\ sqrt [] {20} -2}} {2} [ / math] son las dos posibles soluciones a la ecuación [math] \ displaystyle X ^ 4 + \ frac {1} {X ^ 4} = 18 [/ math].
Puede verificar por sí mismo la precisión de este método al aproximar esta encuesta y compararla con las otras respuestas en este hilo.
¡Espero eso ayude!
En caso de que tenga curiosidad por resolver problemas similares, me gustaría sugerirle este problema que nos asignaron de una de las sesiones de resolución de problemas a las que asistí. Si [math] \ sqrt [3] {x} + \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [3] {x}} = 3, [/ math] encuentra con la prueba, el valor de [math] x ^ 3 + \ displaystyle \ frac {1} {x ^ 3} [/ math].
¡Diviértete resolviendo este!
Gracias,
A.