Cómo encontrar la ecuación vectorial para el plano que es paralelo al plano xy y pasa por el punto (4, 1, 3)

Answer 1

Para definir la ecuación de un plano, necesita un punto en el plano y un vector normal perpendicular al plano. Como este plano es paralelo al plano xy, un vector normal apunta a lo largo del eje z. Hay infinitas posibilidades de vectores que apuntan a lo largo del eje z, pero tomaremos el caso más simple, que es el vector [math] k [/ math]. Luego, un punto general [matemática] r [/ matemática] en el plano menos otro punto conocido [matemática] a [/ matemática] en el plano le da un vector en el plano, que es perpendicular al vector normal. Por lo tanto, el producto punto del vector normal y el vector [math] (ra) [/ math] es cero.

Como la ecuación del plano es [matemática] z = 3 [/ matemática], cualquier punto general debe ubicarse en z = 3, pero las coordenadas xey pueden tomar cualquier valor. Este es un resultado razonable porque el plano es paralelo al plano xy y corta el eje z en z = 3.

Answer 2

Solo necesita un punto en el plano (que lo pase) y el vector normal del plano.

La ecuación general es: Nx (xa) + Ny (yb) + Nz (zc) = 0 Esta fórmula se deduce del punto producto de los vectores. Okay. (Nx, Ny, Nz) = N Estas son las componentes x, y y z del vector perpendicular al plano. (a, b, c) son las coordenadas de CUALQUIER punto del plano.

Sabemos que el avión pasa por (4,1,3) luego a = 4, b = 1 yc = 3. Necesitamos ahora las coordenadas del vector perpendicular al plano. Nos dicen que es paralelo al plano z = 0 (plano xy) pero sabemos que el vector perpendicular a este plano es k = (0,0,1) Porque si haces ixj = k con i = (1,0 , 0) y j = (0,1,0), porque hay dos vectores en el plano XY y si haces el producto vectorial de ellos, el producto es un vector perpendicular a ellos. Pero como dos vectores definieron un plano, entonces es perpendicular al plano definido para ellos.

Okay. entonces podemos poner los valores. 0 (x-4) +0 (y-1) +1 (z-3) = 0— → z = 3