Cómo encontrar el ángulo a través del cual se giran los ejes alrededor del origen para que el término del producto xy se elimine de la ecuación transformada

Para abreviar, escriba [math] x ‘= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta, y’ = y \ cos \ theta-x \ sin \ theta [/ math] como [math] x ‘= cx + sy, y ‘= cy-sx [/ math] equivalente a [math] x = cx’-sy’, y = cy ‘+ sx’ [/ math] (si [math] \ theta [/ math] es el ángulo para rotar [matemática] xy [/ matemática] -hace a [matemática] x’y ‘[/ matemática] luego [matemática] – \ theta [/ matemática] es el ángulo para girar hacia atrás). Ahora [math] Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 [/ math] términos en una expresión cuadrática para una sección cónica generará términos [math] x’y ‘[/ math] (ignore los términos lineales y constantes, que don ‘t) [matemática] -2csA + (c ^ 2-s ^ 2) B + 2csC [/ matemática] que desea totalizar a cero. Tenga en cuenta las fórmulas de doble ángulo: necesita [matemáticas] B \ cos (2 \ theta) = (AC) \ sin (2 \ theta), 2 \ theta = \ tan ^ {- 1} \ frac {B} {AC } [/ matemática] o [matemática] \ pi / 2 [/ matemática] si [matemática] A = C [/ matemática]. Agregar un múltiplo de [math] \ pi [/ math] a la solución para [math] 2 \ theta [/ math] agrega un múltiplo de [math] \ pi / 2 [/ math] a [math] \ theta [/ matemática] dando cuatro rotaciones distintas dependiendo de cuál de los ejes rotados desea etiquetar [matemática] x ‘[/ matemática] y cuál [matemática] y’ [/ matemática] y, en la [matemática] x ‘[/ matemática] eje, en qué dirección quieres estar [matemáticas] + x ‘[/ matemáticas] y qué [matemáticas] -x’ [/ matemáticas]