Encuentre la ecuación del círculo que tiene radio 5 y que toca la línea 3x + 4y-11 = 0 en el punto (1,2)?

Answer 1

La tangente es la línea 3x + 4y – 11 = 0 en (1,2) del círculo.

Deje que la ecuación de círculo sea [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0, [/ matemática]

Centro del círculo = (-g, -f)
Radio del círculo = [matemáticas] \ sqrt {g ^ 2 + f ^ 2 -c} [/ matemáticas]

La distancia desde el centro del círculo hasta la línea 3x + 4y -11 = 0 es 5. Entonces,

[matemáticas] 5 = \ pm \ dfrac {3 * (- g) + 4 * (- f) -11} {\ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2}} [/ matemáticas] .. (a)

Tomando positivo,

o [matemáticas], 5 = \ dfrac {-3g – 4f -11} {5} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] 25 = – 3g – 4f – 11 [/ matemáticas]

o, [matemática] -3g – 4f = 36 [/ matemática]… (i)

Pendiente de la tangente = [matemáticas] – \ dfrac {3} {4} [/ matemáticas]

Entonces, pendiente de normal = [matemáticas] \ dfrac {4} {3} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] \ dfrac {2 + f} {1 + g} = \ dfrac {4} {3} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] 6 + 3f = 4 + 4g [/ matemáticas]

o, [matemática] 4g – 3f = 2 [/ matemática]… (ii)

De (i) y (ii)

[matemáticas] g = -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] f = -6 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] r = \ sqrt {g ^ 2 + f ^ 2 -c} [/ matemáticas]

o, [matemáticas] r ^ 2 = g ^ 2 + f ^ 2 – c [/ matemáticas]

o, [matemáticas] 25 = 16 + 36 – c [/ matemáticas]

o, [matemáticas] c = 27 [/ matemáticas]

Entonces,

La ecuación [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 -8x -12y + 27 = 0 [/ matemática] es la ecuación de círculo requerida.

De una toma negativa para obtener otro círculo.

Answer 2

Solo necesitamos encontrar el centro. Esto se puede encontrar al encontrar la línea perpendicular a la línea [matemática] 3x + 4y-11 = 0 [/ matemática] en el punto especificado y contar una distancia de 5. Esto se debe a que la tangente de un círculo es perpendicular a la línea que une el centro y la circunferencia en ese punto.

Ligera transformación de la ecuación de la línea tangente:

[matemáticas] 3x + 4y -11 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {y = – \ frac {3x} 4 + \ frac {11} 4} [/ math]

Entonces, la pendiente de la línea tangente es [matemática] – \ dfrac 34 [/ matemática], entonces la línea “normal” tendría una pendiente de [matemática] \ dfrac 43 [/ matemática]

Intuitivamente, eso significa que para la ejecución de 3, habrá un aumento de 4, lo que nos da una hipotenusa de 5, ¡y este es el radio!

Entonces, la coordenada x difiere del punto especificado en 3, y la coordenada y difiere del punto especificado en 4. Tenemos dos soluciones para el centro del círculo:

[matemáticas] (x, y) = (-2, -2), (4,6) [/ matemáticas]

Entonces hay dos ecuaciones;

[matemáticas] (x + 2) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 25 [/ matemáticas]

Answer 3

Pregunta: ¿Encuentra la ecuación del círculo con radio 5 y que toca la línea 3x + 4y-11 = 0 en el punto (1,2)?

Como se indicó, hay infinitas respuestas a esta pregunta, sin embargo, suponiendo que se refiera a tangente en lugar de toques, esto le dará dos posibles respuestas.

Primero encuentras el centro moviendo 5 unidades desde ese punto en una dirección que es perpendicular a la línea dada. Esto proporciona dos centros para dos posibles respuestas. Los [math] x, y [/ math] coordenadas del centro son [math] (x_0, y_0) [/ math]

Luego inserta la notación estándar para una ecuación de círculo cartesiano:

[matemáticas] (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, descubramos qué dirección es perpendicular a esta línea convirtiéndola a la forma de y = mx + b y luego tomando la pendiente ortogonal de -1 / m

[matemáticas] 3x + 4y = 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4y = -3x + 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {-3x + 11} {4} [/ matemáticas]

La pendiente es -3/4, por lo que la pendiente ortogonal es 4/3.

Moverse a lo largo de esta dirección desde el punto (1,2) nos dará nuestros dos posibles centros de círculo como (4,6) o (-2, -2)

La ecuación para este círculo es:

[matemáticas] (x + 2) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]