Cómo encontrar una segunda solución de la ecuación [matemáticas] 2x ^ 2y ” + 3xy’-y = 0 [/ matemáticas] con [matemáticas] x \ gt 0 [/ matemáticas] si [matemáticas] y_1 (x) = \ dfrac {1} {x} [/ math] es una de sus soluciones

Answer 1

* A2A

[matemáticas] \ text {Método 1: reducción del orden} \\ 2x ^ 2y ” + 3xy’-y = 0, y_1 (x) = x ^ {- 1} \\\ text {Let} y = vy_1 = x ^ {- 1} v \\\ text {Este proceso es un poco tedioso. Sustituya esto en la ecuación diferencial …} \\ 2x ^ 2 (x ^ {- 1} v) ” + 3x (x ^ {- 1} v) ‘- (x ^ {- 1} v) = 0 \\ \ implica 2x ^ 2 (-x ^ {- 2} v + x ^ {- 1} v ‘)’ + 3x (-x ^ {- 2} v + x ^ {- 1} v ‘) – x ^ { -1} v = 0 \\ \ implica 2x ^ 2 (2x ^ {- 3} vx ^ {- 2} v’-x ^ {- 2} v ‘+ x ^ {- 1} v’ ‘) + 3x (-x ^ {- 2} v + x ^ {- 1} v ‘) – x ^ {- 1} v = 0 \\\ implica 4x ^ {- 1} v-4v’ + 2xv ” – 3x ^ {-1} v + 3v’-x ^ {- 1} v = 0 \\ \ implica \ color {azul} {4x ^ {- 1} v} -v ‘+ 2xv’ ‘- \ color {azul} { 4x ^ {- 1} v} = 0 \\ \ implica 2xv ” – v ‘= 0 \\ \ text {Let} w = v’ \\ \ implica 2xw’-w = 0 \\ \ text {Esto puede ahora se resolverá mediante la técnica de separación de variables} \\ \ implica 2x \ dfrac {dw} {dx} = w \\ \ implica \ dfrac {1} {w} dw = \ dfrac {1} {2x} dx \\ \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {w} dw = \ int \ dfrac {1} {2x} dx \\ \ implica \ ln w = \ dfrac {1} {2} \ ln x + C_0 \\ \ implica w = e ^ {\ frac {1} {2} \ ln x + C_0} \\ \ implica w = e ^ {\ ln \ sqrt {x}} \ cdot e ^ {C_0} \\ \ implica w = C_1 \ sqrt {x} \\\ implica v ‘= C_1 \ sqrt {x} \\ \ implica v = \ dfrac {2} {3} C_1x ^ {\ frac {3} {2}} + C_2 \\\ text { Pero anteriormente dijimos ..} y = vy_1 \\ y (x) = \ left (\ dfrac {2} {3} C_1x ^ {\ frac {3} {2}} + C_2 \ right) \ cdot x ^ { -1} \\ \ implica y (x) = \ dfrac {2} {3} C_1x ^ {\ frac {1} {2}} + C_2 x ^ {- 1} \\ \ implica y (x) = C_3 \ boxed {\ sqrt {x}} + C_2x ^ {- 1} \ tag * {} [/ math]

Segunda solución [matemáticas] y_2 (x) = \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Método 2: Reconocer que la ecuación dada es una ecuación diferencial de Euler-Cauchy} \\ 2x ^ 2y ” + 3xy’-y = 0 \\ \ implica 2x ^ 2 \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + 3x \ dfrac {dy} {dx} -y = 0 \\\ text {Hacer una sustitución …} \\ x = e ^ z \\ \ implica x \ dfrac {dy} {dx} = Dy, \ text {where} D = \ dfrac {d} {dz} \\ \ implica x ^ 2 \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = D (D-1) y \\\ text {Ahora , use todo esto y reescriba la ecuación diferencial …} \\ 2D (D-1) y + 3Dy-y = 0 \\ \ implica [2D (D-1) + 3D-1] y = 0 \\ \ implica ( 2D ^ 2 + D-1) y = 0 \\\ text {¿Reconoce esto? Esta es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden} \\\ text {Ecuación auxiliar …} \\ 2m ^ 2 + m-1 = 0 \\\ implica (m-1) (2m-1) = 0 \\\ implica m = -1, \ dfrac {1} {2}, \ text {raíces distintas} \\ \ text {Pero a diferencia de la solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea,} \\\ text {la solución toma la forma de …} \\ \ \ \ implica y (x) = c_1x ^ {- 1} + c_2 x ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ implica y (x) = c_1x ^ {- 1} + c_2 \ boxed {\ sqrt {x}} \ tag * {} [/ math]

Segunda solución [matemáticas] y_2 (x) = \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Answer 2