Si multiplicamos ambos lados por sus conjugados complejos, ¿por qué eso no cambia la ecuación?

* A2A

No veo nada especial aquí. Supongamos que [math] z_1 = a + ib, z_2 = c + id [/ math]

Digamos que [matemática] z_1 = z_2 [/ matemática], significa que [matemática] a = c, b = d [/ matemática]

[matemáticas] z_1 = z_2 \\ z_1 \ bar {z_1} = z_2 \ bar {z_2} \\ | z_1 | ^ 2 = | z_2 | ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

  • Como puede ver, hemos terminado con [matemáticas] | z_1 | ^ 2 = | z_2 | ^ 2 [/ matemáticas]
  • Esto nos dice que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]
  • Pero ya estuvimos de acuerdo en el hecho de que [matemáticas] a = c, b = d [/ matemáticas], parece que funciona.
  • Y esto seguirá funcionando porque el conjunto de todos los números complejos [matemática] \ C [/ matemática] forma un campo bajo suma y multiplicación. Su pregunta es solo una consecuencia de estas propiedades.

Si ambos lados de la ecuación son iguales, su conjugado complejo también será igual. Simbólicamente, si [matemática] a = b [/ matemática], entonces [matemática] a ^ * = b ^ * [/ matemática] lo que significa que cuando multiplicas ambos lados de [matemática] a = b [/ matemática] por ellos son conjugados complejos [matemática] a ^ * a = b ^ * b [/ matemática], estás multiplicando ambos lados por el mismo número.

Si dos expresiones son iguales, entonces los dos conjugados son iguales, y los iguales multiplicados por iguales son iguales.

Mientras realice la misma operación en ambos lados del signo igual, se preserva la igualdad. Técnicamente es porque el conjunto de números (reales o complejos) es un campo y un anillo bajo multiplicación y suma, y ​​esta propiedad proviene de esos axiomas.

Simplemente porque multiplicar 2 lados de una igualdad por el mismo número te da una igualdad equivalente a la primera, siempre que el número por el que multiplicas no sea 0.

Una ligera variación: si x = y, entonces f (x) = f (y) para cualquier función f. Sea f (z) = zz *; entonces xx * = aa *.