Cómo resolver funciones cuadráticas usando factorización

Answer 1

Hagamos [matemáticas] -x ^ 2 + 4x + 21 = 0 [/ matemáticas].

Por cierto, si había algo distinto de cero a la derecha, reste primero de ambos lados.

Factorizar significa ponerlo en la forma [matemática] (x + a) (x + b) = 0 [/ matemática].

Podemos comenzar dividiendo por el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] x ^ 2-4x-21 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, si aplica el método FOIL a [math] (x + a) (x + b) [/ math], debería quedar claro que

[matemáticas] a + b = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = -21 [/ matemáticas].

Esto se puede resolver fácilmente mediante prueba y error: [matemática] a = -7 [/ matemática], [matemática] b = 3 [/ matemática]. Entonces tenemos:

[matemáticas] (x-7) (x + 3) = 0 [/ matemáticas]

Ahora, para que esto sea cero, [math] x-7 [/ math] es cero o [math] x + 3 [/ math] es cero. Entonces [math] x [/ math] es [math] 7 [/ math] o [math] -3 [/ math]. Poner cualquiera de estos en la ecuación original muestra que ambas soluciones son correctas.

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Ahora para la desigualdad: [matemáticas] -x ^ 2 + 4x + 21> 0 [/ matemáticas]

Sabemos que en [matemáticas] 7 [/ matemáticas] y [matemáticas] -3 [/ matemáticas], esto es igual a cero. Entonces esos puntos están excluidos. Hay otras tres regiones para considerar: menos que [matemáticas] -3 [/ matemáticas], mayor que [matemáticas] 7 [/ matemáticas], y entre [matemáticas] -3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 [/ matemáticas].

Prueba un millón en la desigualdad. No. El resultado es menor que cero. Entonces, los puntos mayores que [math] 7 [/ math] no son soluciones.

Prueba negativo un millón. No otra vez. Probablemente notará que solo el término [matemática] x ^ 2 [/ matemática] realmente “importa” cuando se intentan números gigantes.

Prueba cero. Eso funciona. Eso significa que todos los números entre [matemáticas] -3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 [/ matemáticas] satisfacen la desigualdad. La solucion es:

[matemáticas] -3 <x <7 [/ matemáticas].

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A veces es difícil adivinar el factoring como se muestra arriba. En ese caso puede usar “completar el cuadrado”. Dice así:

[matemáticas] -x ^ 2 + 4x + 21 = 0 [/ matemáticas]

Dividir por el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] x ^ 2-4x-21 = 0 [/ matemáticas]

Resta el término constante de ambos lados:

[matemáticas] x ^ 2-4x = 21 [/ matemáticas]

Toma el coeficiente de x (4 en este caso), divídelo por dos, cuadrátalo y agrégalo a ambos lados:

[matemáticas] x ^ 2-4x +4 = 25 [/ matemáticas]

El lado izquierdo se puede factorizar como:

[matemáticas] (x-2) (x-2) = 25 [/ matemáticas]

(El 2 es la raíz cuadrada de lo que acabamos de agregar).

Ahora toma la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que hay dos raíces cuadradas!

[matemáticas] (x-2) = 5 [/ matemáticas] o [matemáticas] (x-2) = – 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 7 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas].

Answer 2

Hola Donald Gracias por el A2A. Creo que la respuesta de Phil es correcta sobre la técnica. Pero puedo dejarle entender su respuesta si puede interpretar la siguiente regla / técnica.

(xa) (xb) = x ^ 2- {(a + b) * x} + ab.

Básicamente, la forma anterior establece que cuando ve una ecuación cuadriática, puede visualizar el coeficiente de (x) como la suma de los factores y el término constante como el producto de los factores. De esa manera puedes encontrar dos números y ponerlos en la ecuación dada arriba para encontrar los factores.

Entonces, si factorizas una ecuación particular como

(x-5) (x + 6), puedes decir que x = 5 yx = (- 6) son las “soluciones” (raíces) de la ecuación y las expresiones (x-5) y (x + 6) son los factores de ecuaciones.

A medida que avanza resolviendo miles de tales ecuaciones cuadriáticas, terminará siendo tan perfecto con ellas que podrá encontrar las soluciones lo más rápido posible. Su escuela o clase roja pueden pedirle que use una calculadora siempre que sea posible para este tipo de cosas fundamentales. Pero diría que es bueno si puedes comenzar a resolverlos por ti mismo. Será una buena práctica y te hará más observador en los lugares donde encuentres la ecuación cuadriática. Además, trate de recordar la fórmula que se usa con bastante frecuencia en las ecuaciones cuadriáticas.

Si una ecuación es f (x) = ax ^ 2 + bx + c,

las soluciones x1, x2 pueden ser descubiertas por

x1 = [-b (+) sqrt ((b) ^ 2- (4 * a * c))] / (2a)

x2 = [-b (-) sqrt ((b) ^ 2- (4 * a * c))] / (2a)

Tenga en cuenta los corchetes mientras usa esta fórmula. Será muy útil recordarlo y comenzar a usarlo rutinariamente.

Bonificación: también puedes comenzar a observar el

[(b) ^ 2- (4 * a * c)] = D

parte de la fórmula anterior. Se llama Discriminante y brinda una buena información sobre la naturaleza de las raíces de la ecuación.

Si D> 0, las raíces son distintas y reales

Si D = 0, las raíces son iguales. La ecuación podría terminar siendo un cuadrado perfecto

Si D <0, las raíces son imaginarias, comenzará a comprender esto a medida que eventualmente le enseñen los números imaginarios.

Espero que mi respuesta te haya ayudado.

Answer 3

Discutiré el caso donde el coeficiente del término [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es [matemática] 1. [/ matemática] es decir, donde factorizamos [matemática] x ^ 2 + bx + c [/ matemática]. (Para las cuadráticas donde el coeficiente de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] no es [matemática] 1 [/ matemática], vea la respuesta de Gregory Schoenmakers a ¿Cuál es el método más eficiente para resolver expresiones cuadráticas con coeficientes mayores que 1? )

[matemáticas] x ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] (x + x_1) (x + x_2) [/ matemáticas]

que cuando se multiplica es [matemática] x ^ 2 + (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 [/ matemática].

Al comparar las dos ecuaciones, puede ver que estamos buscando un par de números cuyo producto es igual al término constante en el cuadrático y cuya suma es igual al coeficiente del término [matemática] x [/ matemática] (tomando en cuenta cualquier signo negativo que pueda tener).

Una manera eficiente de hacer esto es enumerar todos los pares de números cuyo producto es igual al término constante y luego buscar el par cuya suma es igual al coeficiente del término [math] x [/ math].

Para usar el ejemplo que proporcionó, lo volveré a escribir como [matemáticas] x ^ 2 – 4x – 21 <0 [/ matemáticas] (lo mismo).

Los pares de números son:
-1, 21
-3, 7
3, -7 y
1, -21

[matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] -7 [/ matemática] se suman a [matemática] -4 [/ matemática] por lo que la ecuación es [matemática] x ^ 2 – 4x – 21 = (x + 3) (x-7) <0 [/ matemáticas]

Los ceros están en [matemática] x = -3 [/ matemática] y [matemática] x = 7 [/ matemática] por lo que la desigualdad es verdadera cuando

[matemáticas] -3

[matemáticas] x <-3 [/ matemáticas] o [matemáticas] x> 7 [/ matemáticas].

Para decidir cuál es la respuesta correcta, elija un valor para [matemáticas] x [/ matemáticas] (por ejemplo, [matemáticas] 0 [/ matemáticas]). Cuando hacemos eso, encontramos que [matemáticas] 0 ^ 2 -4 (0) -21 = -21 <0 [/ matemáticas] así que la primera respuesta es la correcta.

Answer 4

Su problema, [matemática] 21 + 4x-x ^ {2}> 0 [/ matemática] se puede reorganizar para que sea [matemática] -x ^ {2} + 4x + 21> 0 [/ matemática].

Factoring digamos si [math] (a + b) (c + d)> 0 [/ math] (mayor que cero en este caso), entonces [math] a + b> 0 [/ math] y [math] c + d> 0 [/ matemática].

Primero podemos decir que a y c son x y x negativo, porque [math] x * -x = -x ^ {2} [/ math].

[matemáticas] (x + b) (- x + d)> 0 [/ matemáticas]

Si factorizamos esto obtenemos [math] -x ^ {2} -bx + dx + bd> 0 [/ math]

Por lo tanto, [math] -bx + dx = 4x [/ math] (porque son los únicos que tienen una base de x) y [math] bd = 21 [/ math]

Primero dividimos entre x, y tenemos [math] db = 4 [/ math].

Resuelve b en ambas ecuaciones para obtener [matemáticas] b = d-4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = \ frac {21} {d} [/ matemáticas]

Ahora podemos decir [matemáticas] d-4 = \ frac {21} {d} [/ matemáticas].

Primero multiplique ambos lados por d, [matemáticas] d ^ {2} -4d = 21 [/ matemáticas]

Ahora reste, [matemáticas] d ^ {2} -4d-21 = 0 [/ matemáticas]

Podemos usar la fórmula cuadrática, [matemáticas] d = \ frac {4 \ pm \ sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (-21)}} {2} [/ matemáticas]

Simplifique, [matemáticas] d = \ frac {4 \ pm \ sqrt {16 + 84}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ frac {4 \ pm \ sqrt {100}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ frac {4 \ pm 10} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ frac {4 + 10} {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] d = \ frac {4-10} {2} [/ matemáticas]

[matemática] d = \ frac {14} {2} [/ matemática] o [matemática] d = \ frac {-6} {2} [/ matemática]

[matemáticas] d = 7 [/ matemáticas] o [matemáticas] d = -3 [/ matemáticas]

Conectamos d, [matemática] 7-b = 4 [/ matemática] o [matemática] -3-b = [/ matemática] 4 (solo necesitamos enchufar d en uno)

[matemáticas] -b = -3 [/ matemáticas] o [matemáticas] -b = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = -7 [/ matemáticas]

Ahora tenemos byd (usaré [math] d = 7 [/ math] y [math] b = 3 [/ math]), por lo que podemos conectarlos a la factorización, [math] (x + 3 ) (- x + 7)> 0 [/ matemática].

[matemática] x + 3> 0 [/ matemática] y [matemática] -x + 7> 0 [/ matemática]

[matemáticas] x> 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] -x> -7 [/ matemáticas]

[matemáticas] x> 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] x <7 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 3