¿Cada grado de un polinomio tiene una ecuación cuadrática equivalente, o es solo cuadrática?

La pregunta fue (algo) aclarada en los detalles, así que estoy actualizando la respuesta. Sigue siendo No.

Parece preguntarse si las raíces de los polinomios de alto grado se pueden expresar usando fórmulas similares a las de la fórmula cuadrática, que expresa las soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de sus coeficientes usando operaciones aritméticas y raíces.

La respuesta es que esto se puede hacer para polinomios de grado 3 y 4, pero no para polinomios de grado 5 y más. Este es el famoso descubrimiento de Abel, Ruffini y Galois de principios del siglo XIX, y se conoce con el nombre de Teoría de Galois.

Algunas preguntas relevantes de Quora:

¿Hay una manera fácil de entender que no existe una fórmula para calcular las raíces de un polinomio de quinto grado, aunque existen para polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos?

¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado?

Si por ecuación cuadrática equivalente, quiere decir soluciones explícitas a ecuaciones cuadráticas, entonces no. Tenemos una solución explícita para polinomios de grado 3 (función cúbica – Wikipedia) y grado 4 (función de cuarto – Wikipedia), pero no para potencias superiores. No es que nadie haya intentado lo suficiente para obtener soluciones para grados superiores, sino que se ha demostrado que no existe una fórmula general para grados 5 o superiores (teorema de Abel-Ruffini – Wikipedia).