¿Cuál es el método para encontrar las raíces de una ecuación quíntica?

Answer 1

Existen métodos para resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado, pero más allá del grado 4 no existe una fórmula general que involucre solo las cuatro operaciones aritméticas principales (suma, resta, multiplicación y división) y radicales. Llamamos a eso “solución por radicales”. En algunos casos, hay fórmulas si se permiten otras operaciones. También algunas ecuaciones de mayor grado pueden resolverse mediante radicales (por ejemplo, x ^ 7 = 128).

Sin embargo, rara vez es una buena idea usar una fórmula, incluso cuando la hay. Las ecuaciones cúbicas pueden resolverse mediante radicales o mediante trigonometría, pero incluso para un método cúbico, los métodos numéricos suelen ser más fáciles.

No pienses que los métodos numéricos son de alguna manera inferiores. Considere la ecuación cuadrática x ^ 2 – 8x + 5 = 0. Tiene raíces 4 – sqrt (11) y 4 + sqrt (11). Una solución exacta, ¿verdad? Incorrecto, aún necesita encontrar sqrt (11) que solo se puede hacer numéricamente.

Existen muchos métodos numéricos para resolver ecuaciones generales, siendo Newton-Raphson uno de los más destacados. También hay métodos dedicados al caso especial de polinomios. Consulte la sección Encontrar raíces de polinomios en el algoritmo de búsqueda de raíces.

Answer 2

Existe la famosa fórmula para las raíces de una cuadrática.

Hay una fórmula menos conocida para las raíces de un cúbico.

Casi nadie sabe acerca de la fórmula para las raíces de un cuarto, pero esa fórmula también existe.

Desafortunadamente, aquí es donde termina el patrón. No existe una fórmula para las raíces de una ecuación quíntica. No es solo que no hayamos descubierto la fórmula: la fórmula no existe, y lo hemos demostrado, o al menos Niels Henrik Abel sí. Él demostró que no existe una fórmula para las raíces de la quintic general.

Por supuesto, algunas quínticas tienen solución. x ^ 5 – 2 = 0 es un ejemplo. x = 2 ^ 1/5. Pero, en general, no existe una fórmula, en términos de coeficientes, para encontrar las raíces de Ax ^ 5 + Bx ^ 4 + Cx ^ 3 + Dx ^ 2 + Ex + F. Por lo tanto, solo tiene que usar una utilidad gráfica para Encuentra la respuesta. Es decir, la respuesta aproximada.

Answer 3

No conozco un algoritmo para un cuadrático cuántico. El único método que conozco es la aplicación del teorema del factor que establece que si P (x) es un polinomio y P (a) = 0, entonces (xa) es un factor. Lo contrario es cierto.

Considere este polinomio: 2xˆ5 + 5xˆ4–11xˆ3 + xˆ2 + 21x-18.

Considere los factores de 18:  + 1.-1, + 2, -2 ETC.

P (1) = 2 + 5–11 + 1 + 21–18 = 0, entonces x-1 es un factor.

Answer 4

El método numérico funciona para cualquier número que tenga raíces reales. Quizás este método también funcione para raíces complejas, pero puedes intentarlo. El método se describe en mi otra respuesta: ¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado? (Pero necesitas desplazarte un poco hacia abajo)