¿Hay una manera intuitiva de saber / mostrar que [matemáticas] n ^ n> n! [/matemáticas]?

Answer 1

Lo demostraremos por inducción.

Caso base: [matemáticas] 2 ^ 2> 2 !, 4> 2 [/ matemáticas], lo cual es cierto.

Ahora tenemos que demostrar que [math] n ^ n> n! [/ Math] ser verdadero implica que [math] (n + 1) ^ {(n + 1)}> (n + 1)! [/ Math]

Dado que asumimos que [math] n ^ n> n!, [/ Math] podemos multiplicar ambos lados por [math] (n + 1) [/ math] para obtener [math] (n + 1) n ^ n> (n + 1) n! [/ matemáticas]

Desde [matemáticas] (n + 1) n! = (N + 1) !, (n + 1) n ^ n> (n + 1)!. [/ Matemáticas]

Dado que [math] (n + 1) ^ n> n ^ n, [/ math] podemos escribir [math] (n + 1) (n + 1) ^ n> [/ math] [math] (n + 1 ) n ^ n> (n + 1)! [/ math]

Simplificando, obtenemos [matemáticas] (n + 1) ^ {(n + 1)}> (n + 1) n ^ n> (n + 1)! [/ Matemáticas] o [matemáticas] (n + 1) ^ {(n + 1)}> (n + 1)! [/ math] que es lo que necesitábamos probar. QED

Por lo tanto, [math] n ^ n> n! [/ Math] para cualquier [math] n> 1 [/ math] natural

Answer 2

Si no es obvio que

[matemáticas] \ displaystyle n ^ n = \ underbrace {n \ cdot \ ldots \ cdot n} _ \ text {n veces}> n (n-1) (n-2) \ cdot \ ldots \ cdot 1 = n! [/ math] (para [math] n \ ge 2 [/ math])

o (equivalentemente) que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ n} {n!} = \ frac {n} {n} \ cdot \ frac {n} {n-1} \ cdot \ ldots \ cdot \ frac {n} {1 }> 1 [/ matemáticas]

(cada fracción, excepto la primera, es mayor que 1)

puedes usar la inducción para probarlo.

Para los más pequeños [matemática] n [/ matemática], [matemática] n = 2 [/ matemática], esto es obviamente cierto: [matemática] 2 ^ 2 = 4> 2 = 2! [/ Matemática]

Suponiendo que [math] n ^ n> n! [/ Math] es verdadero (hipótesis de inducción), demostremos que [math] (n + 1) ^ {n + 1}> (n + 1)! [/ Math] es También cierto.

Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1)! = (n + 1) n! [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ {n + 1} = (n + 1) ^ n \ cdot (n + 1) [/ matemáticas]

Combinando estos rendimientos

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ n \ cdot (n + 1)> (n + 1) n! [/ matemáticas]

Como [math] n \ ge 2 [/ math], podemos dividir ambos lados entre [math] (n + 1) [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ n> n! [/ matemáticas]

Pero también sabemos que

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ n = \ sum_ {i = 0} ^ n \ binom {n} {i} n ^ i = n ^ n + \ sum_ {i = 0} ^ {n-1 } \ binom {n} {i} n ^ i> n ^ n [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) ^ n> n ^ n> n! [/ matemáticas]

La última desigualdad es verdadera por la hipótesis de inducción, que completa la prueba.

Answer 3

Tenga en cuenta que [math] n ^ n [/ math] es el producto de [math] n [/ math] números todos los cuales son [math] n [/ math] y [math] n! [/ Math] el producto de [math] n [/ math] numera todos menos uno de los cuales son estrictamente menores que [math] n [/ math]. (Supongo que necesita [matemática] n> 1 [/ matemática] o [matemática] n ^ n = n! [/ Matemática]).

Answer 4

De manera muy simple, [math] n ^ n [/ math] y [math] n! [/ Math] están compuestos por factores [math] n [/ math]. Uno de los factores es el mismo en ambos. Todos los demás son más pequeños en [math] n! [/ Math].

Por ejemplo:

[matemáticas] 5 ^ 5 = 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5! = 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 [/ math]

Al dividir ambos por [matemáticas] 5 [/ matemáticas], tenemos dos productos con el mismo número de factores, pero todos son más pequeños en el segundo conjunto.

Answer 5

Como otros han señalado, [matemática] n ^ n [/ matemática] es un producto de n factores, cada uno de los cuales es mayor o igual a uno de los n factores de n. Otra forma: comenzaste con la suma [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} \ frac {n ^ {n}} {n!}. [/ Matemáticas] Eso es una serie alterna y una serie alterna siempre convergen si su término general tiende a cero. Como sabe que la serie diverge, debe ser que [math] n ^ n \ ge c * (n!) [/ ​​Math] para algunos positivos [math] c [/ math]. Supongo que podría ir desde allí y demostrar que [matemáticas] c \ ge 1. [/ Matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ {n}} {n!} = \ frac {n} {n} \ times \ frac {n} {n-1} \ times \ frac {n} {n-2 }… \ Frac {n} {1} = \ frac {n} {n-1} \ times \ frac {n} {n-2}… \ frac {n} {1} [/ math] donde todos los términos son mayor que uno si [matemática] n> 1 [/ matemática]. Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ {n}} {n!}> 1 [/ matemáticas], o [matemáticas] n ^ {n}> n! [/ Matemáticas].

Answer 7

n ^ n = nxnxnxnxn… .to n factores.

¡norte! = nx (n-1) (n-2)… 3x2x1

Entonces, se puede ver que, CADA FACTOR DESPUÉS DE N EN LA EXPRESIÓN SUPERIOR ES GRANDE QUE EL CORRESPONDIENTE EN LA EXPRESIÓN INFERIOR, ¡ENTONCES n ^ n> n!

Answer 8

En primer lugar, [math] n ^ n> n! [/ Math] es válido para [math] n> 1 [/ math]. Una vez que se dé cuenta de esto, no estoy seguro de que podamos decir intuitivamente que es cierto para todos [matemática] n \ in \ N. [/ Matemática] Pero al menos podemos intentar probarlo por inducción.

Desde la perspectiva del cálculo, simplemente enchufaría números y vería que [math] \ dfrac {n ^ n} {n!} [/ Math] diverge para [math] n> 1 [/ math]

También podemos probar esto

[matemáticas] n! = \ Gamma (n + 1) [/ matemáticas]

y sabemos que su producto es más pequeño que [math] n ^ n [/ math]

¿Cómo lo digo intuitivamente, la pregunta sigue siendo. Bueno, ¿qué tal esto, si digo [matemáticas] 5! [/ Matemáticas], quiero decir multiplicar de 1 a [matemáticas] 5 [/ matemáticas], pero si digo [matemáticas] 5 ^ 5 [/ matemáticas], quiero decir multiplica [matemáticas] 5 [/ matemáticas] consigo mismo, cuatro veces. Eso lo prueba, ¿no? Al menos un poco.

---

Probemos la prueba por inducción .

Caso base: [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n! = 2! = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ n = 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ n> n! [/ matemáticas] es cierto para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]

Paso inductivo:

Suponga que la afirmación es cierta para algunos [matemática] n = k [/ matemática]

Entonces tenemos [matemáticas] k ^ k> k! [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ implica k!

Necesitamos demostrar que la afirmación se cumple para algunas [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1)! = (k + 1) k (k-1) \ cdots (3) (2) (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (k + 1)! = (k + 1) k! [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (k + 1)! <(k + 1) k ^ k [/ matemáticas] [usando la ecuación [matemáticas] [i] [/ matemáticas]]

[matemáticas] \ implica (k + 1)! <(k + 1) (k + 1) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (k + 1)! <(k + 1) ^ {k + 1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] n ^ n> n! [/ Matemáticas] para [matemáticas] n> 1, n \ in \ N [/ matemáticas]

Answer 9

La prueba de [matemáticas] n ^ n> n! [/ Matemáticas] es equivalente a probar [matemáticas] n! / N ^ n <1 [/ matemáticas]. Supongamos que [matemática] n> 1 [/ matemática]. Puedes escribir

[matemáticas] \ dfrac {n!} {n ^ n} = \ dfrac {n} {n} \ cdot \ dfrac {n-1} {n} \ cdots \ dfrac {1} {n} = \ displaystyle \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k} {n} [/ math]

Como [math] \ forall 1 \ le k \ le n: 0 <\ dfrac {k} {n} \ le 1 [/ math] y al menos uno de los factores es menor que uno, el producto tiene que ser menor que uno, que prueba tu afirmación.

Answer 10

Bueno n! = 1 * 2 * 3 * … * n mientras n ^ n = n * n * n * … * n (n-veces), n es el número más grande en este conjunto de multiplicación para que podamos reescribir n! como (

Answer 11

Solo compara los productos:

(1): [matemáticas] n \ veces n \ veces n \ veces… \ veces n [/ matemáticas] [n términos]

(2): [matemáticas] n \ veces (n-1) \ veces (n-2) \ veces… \ veces 1 [/ matemáticas] [n términos]

El producto (1) tiene el primer término igual al primer término en el producto (2). Pero todos los términos restantes de (1) son más grandes que los términos correspondientes en (2) … No es tan difícil de probar a partir de ahí. Puedes usar la inducción.

Answer 12

Otros probablemente ya te mostraron una prueba formal, así que déjame darte una intuición (lo que pediste):

¡norte! = n (n-1) (n-2)… (1)

Tenga en cuenta que tenemos n términos en ese producto.

Ahora,

n ^ n = n (n) (n)… (n)

Ese producto también tiene n términos, pero son claramente más grandes que los demás.

Ta-da

Answer 13

(n) ^ n> n! Para n> 1 x se utilizarán como símbolos de multiplicación.

Prueba:

nxnxnxnxn….> nx (n-1) x (n-2) x (n-3)… .. (nn)

n> n, n> n-1, n> n-2, …

Tf nxn> nx (n-1) …

tf n ^ n> n!