Estamos garantizados que [math] \ frac {m ^ 2 + 5} {2} [/ math] es un número entero, es decir, [math] 3 ^ n [/ math]. Entonces [matemática] m ^ 2 + 5 [/ matemática] es divisible por [matemática] 2, [/ matemática] entonces [matemática] m [/ matemática] es impar: [matemática] m = 2u + 1 [/ matemática]
[matemáticas] (2u + 1) ^ 2 = 2 \ cdot 3 ^ n-5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4u ^ 2 + 4u = 2 \ cdot 3 ^ n-6 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2u (u + 1) = 3 (3 ^ {n-1} -1) [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ frac {u (u + 1)} {2} = 3 \ frac {3 ^ {n-1} -1} {4} [/ matemáticas]
La izquierda es un número entero ya que uno de [math] u [/ math] o [math] u + 1 [/ math] es divisible por [math] 2 [/ math]: [math] \ binom {u} {2} = \ frac {u (u + 1)} {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 3 ^ {n-1} \ equiv 1 \ mod {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica n-1 \ equiv 0 \ mod {\ phi (4) = 2} [/ matemáticas]
[matemática] \ implica n \ equiv 1 \ mod {2} [/ matemática] también es impar: [matemática] n = 2v + 1 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica \ binom {u} {2} = 3 \ frac {9 ^ v-1} {4} [/ matemáticas]
[matemática] 2u ^ 2 + 2u-3 (9 ^ v-1) = 0 [/ matemática]
[matemáticas] u = \ frac {-2 \ pm \ sqrt {4 + 4 (2) 3 (9 ^ v-1)}} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2u + 1 = m = \ pm \ sqrt {6 \ cdot 9 ^ v-5} [/ matemáticas]
La expresión en el radical siempre es un cuadrado perfecto, y si [math] v \ ne 0 [/ math], es [math] 4 \ mod {9} [/ math] e impar, de ahí que [math] 13 \ mod { 18} [/ matemáticas]. De lo contrario, encontramos [math] m = \ pm {1} [/ math], que corresponde a [math] (n, m) = (1, \ pm1) [/ math]
Las únicas raíces cuadradas de [math] 13 \ mod {18} [/ math] son [math] \ pm7 [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] m \ equiv \ pm {7} \ mod {18} [/ matemáticas]: [matemáticas] m = 18z \ pm7 [/ matemáticas]
[matemáticas] (18z \ pm7) ^ 2 = 6 \ cdot {9 ^ v} -5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 ^ {2} 2 ^ {2} z ^ {2} \ pm {2} (7) 18z + 49 = 6 \ cdot {9 ^ v} -5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 ^ {2} 2 ^ {2} z ^ {2} \ pm {2} (7) 18z = 9 \ cdot6 (9 ^ {v-1} -1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 \ cdot2z ^ {2} \ pm {2} (7) z = 3 (9 ^ {v-1} -1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 18z ^ {2} \ pm14z = 3 \ cdot (9 ^ {v-1} -1) [/ matemáticas]
A menos que [math] v = 1 [/ math] (que corresponde a las otras dos soluciones [math] (1, \ pm7) [/ math]) definimos [math] w = v-1 [/ math]
[matemáticas] 2z (9z \ pm7) = 3 (9 ^ w-1) [/ matemáticas]
Ahora, tenemos que mostrar que la ecuación anterior no tiene soluciones enteras positivas.
Módulo 3, encontramos inmediatamente que [matemática] 3 | z [/ matemática]: [matemática] z = 3s [/ matemática]
[matemáticas] 2s (27s \ pm7) = (9 ^ w-1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 54s ^ 2 \ pm14s- (9 ^ w-1) = 0 [/ matemáticas]
De esto encontramos [math] s \ equiv \ pm2 \ mod {9} [/ math], y sustituyendo todo el camino de regreso a [math] m [/ math], encontramos que cualquier solución aparte de las que hemos encontrado debe tener
[matemática] m \ equiv \ {\ pm101, \ pm115 \} \ mod {486 = 2 \ cdot3 ^ 5} [/ matemática]: [matemática] m = 2 \ cdot3 ^ {5} x + r [/ matemática] donde [matemáticas] r \ in \ {\ pm101, \ pm115 \} [/ matemáticas]
Y conectando este formulario para [math] m [/ math] en la ecuación original, podemos encontrar
[matemáticas] r ^ 2 \ equiv6 \ cdot9 ^ v-5 \ mod {3 ^ 5 = 243} [/ matemáticas]. Para [matemáticas] v> 2 [/ matemáticas], esto se convierte en
[matemáticas] r ^ 2 \ equiv238 \ mod {243} [/ matemáticas]
Esto solo es cierto si [math] r \ equiv \ pm101 \ mod {486} [/ math]
Por lo tanto, [math] m \ equiv \ pm101 \ mod {486} [/ math]: [math] m = 2 \ cdot3 ^ {5} x \ pm101 [/ math]
Además, volviendo a la ecuación para [math] s [/ math] y reduciendo [math] \ mod {14} [/ math], reemplazando [math] s = 9t \ pm2 [/ math] encontramos
[matemáticas] 12s ^ 2 \ equiv 9 ^ w-1 \ mod {14} [/ matemáticas]
[matemáticas] 12 (9t \ pm2) ^ 2 \ equiv 9 ^ w-1 \ mod {14} [/ matemáticas]
[matemáticas] 6 (t \ pm1) ^ 2 \ equiv 9 ^ w-1 \ mod {14} [/ matemáticas]
O redefinir [matemáticas] y = t \ pm1 \ implica t = y \ mp1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 6y ^ 2 \ equiv 9 ^ w-1 \ mod {14} [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] 6y ^ 2 = 9 ^ w-1 + 14q [/ matemáticas]
Donde [matemáticas] w <\ ord_ {14} {(9)} = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3y ^ 2 = \ frac {9 ^ w-1} {2} + 7q [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 3y ^ 2 \ equiv \ {0,4,5 \} \ mod {7} [/ matemáticas]
Los residuos cuadráticos [math] \ mod {7} [/ math] multiplicados por [math] 3 [/ math] son
[matemáticas] 3 \ {0,1,2,4 \} \ equiv \ {0,3,6,5 \} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] y [/ matemática] debe ser [matemática] 0,2, [/ matemática] o [matemática] 5 [/ matemática] módulo [matemática] 7 [/ matemática]. Por lo tanto, tenemos
[matemáticas] m = 2 \ cdot3 ^ {5} x \ pm101 = 18 (3 (9 (y \ pm1) \ pm2)) \ pm7 [/ matemáticas]
O módulo reducido [matemáticas] 486 [/ matemáticas], encontramos
[matemáticas] \ pm101 \ equiv \ pm108 \ pm7 \ mod {486} [/ matemáticas], por lo que requerimos
[matemáticas] m = 2 \ cdot3 ^ {5} x \ pm101 = 18 (3 (9 (y \ pm1) \ pm_ {1} 2)) \ mp_ {1} 7 [/ matemáticas]
Esto equivale a que [matemáticas] x [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] y \ pm1 [/ matemáticas], por lo que [matemáticas] x \ equiv \ pm \ {1,3 \} \ mod {7} [ / matemáticas] y
[matemáticas] m \ equiv \ pm \ {385,587,1357,1559 \} \ mod {3402 = 2 \ cdot3 ^ 57} [/ matemáticas]
Estos cuadrados a [matemáticas] \ {967,1453,1939 \} [/ matemáticas]
Lo que implica que
[matemáticas] \ {967,1453,1939 \} \ equiv 6 \ cdot 9 ^ w-5 \ mod {3402} [/ matemáticas]
Como [matemáticas] 9 ^ 3 \ equiv 9 ^ 6 \ mod {3402} [/ matemáticas], solo tenemos
[matemáticas] 6 \ cdot 9 ^ w-5 \ mod {3402} \ in \ {49,481,967,1939 \} [/ matemáticas]
DESAFORTUNADAMENTE todavía no pudimos sacudir todas las posibilidades para [matemáticas] m [/ matemáticas] … pero eliminamos [matemáticas] \ pm [/ matemáticas] [matemáticas] 1559 [/ matemáticas] y obtuvimos más información sobre el exponente, lo que nos da una nueva ola de esperanza! Tal vez.
[matemáticas] m \ equiv \ pm \ {385,587,1357 \} \ mod {3402 = 2 \ cdot3 ^ 57}, [/ matemáticas]
[matemáticas] w \ equiv \ {0,1 \} \ mod {3} [/ matemáticas]