Averigüemos algunas cosas interesantes antes de abordar el problema.
Es fácil detectar que [matemáticas] 8 = 2 ^ 3 [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] es una solución. Pero no podemos seguir adelante todavía; necesitamos demostrar que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] es de hecho la única solución real.
Observemos ahora el comportamiento de la función [matemáticas] f (x) = x ^ {x + 1} [/ matemáticas]. Tomando la primera derivada, obtenemos la función [math] f ‘(x) = (1 + \ frac {1} {x} + ln (x)) * x ^ {x + 1} [/ math]; intentemos encontrar puntos críticos (máximos, mínimos e inflexiones).
Establezca [matemáticas] (1 + \ frac {1} {x} + ln (x)) * x ^ {x + 1} = 0 [/ matemáticas]. [matemática] x [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática], o de lo contrario tanto [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] como [matemática] ln (x) [/ matemática] ser indefinido
- ¿Cuánto tiempo pasará antes de que las computadoras puedan probar si [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ {\ pi}}} [/ math] es un número entero o no?
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- Cómo demostrar que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ to \ frac \ pi2} \ dfrac {\ cot x- \ cos x} {(\ pi-2x) ^ 3} = \ dfrac1 {16} [/ matemáticas ][matemáticas]
- ¿Las transformaciones de Lorentz se consideran matemáticas de nivel O? S = (u + v) t / 2. Deje v = u = C. Entonces tenemos S = Ct. Sustituyendo en S ^ 2 = X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 da la forma común. Todo se reduce a la suposición de que la velocidad de la luz es constante. ¿Eso es todo lo que hay en el espacio-tiempo?
Como para cualquier [matemática] x> 0 [/ matemática] tenemos [matemática] x ^ {x + 1}> 0 [/ matemática], ahora podemos indicar: [matemática] (1 + \ frac {1} {x } + ln (x)) = 0 [/ matemáticas]. Esta ecuación no tiene solución; Si bien no podemos manipularlo analíticamente, podemos mostrarlo observando su comportamiento.
Deje [math] g (x) = (1 + \ frac {1} {x} + ln (x)) [/ math]. Entonces, podemos escribir: [matemáticas] g ‘(x) = \ frac {-1} {x ^ 2} + \ frac {1} {x} [/ matemáticas]. Configurando [math] g ‘(x) = 0 [/ math], obtenemos una sola solución: [math] x = 1 [/ math]. Ahora, evaluamos [matemáticas] g ” (x) [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], para descubrir la naturaleza del punto crítico:
[matemáticas] g ” (x) = \ frac {2} {x ^ 3} – \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]; [matemáticas] g ” (1) = \ frac {2} {1 ^ 3} – \ frac {1} {1 ^ 2} = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, es un punto mínimo, y dado que la función evaluada en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] resulta en [matemáticas] 2 [/ matemáticas], [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] nunca es [matemáticas ] 0 [/ math] y, por lo tanto, tampoco lo es [math] f ‘(x) [/ math]. Esto significa que [math] f (x) [/ math] es una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Dado que [matemática] f (0) = 0 ^ 1 = 0 [/ matemática] y [matemática] f (1) = 1 ^ 2 = 1 [/ matemática], la función está aumentando estrictamente y, por lo tanto, el único valor en el que [matemáticas] x ^ {x + 1} = 8 [/ matemáticas] es [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].
