¿Cómo probaría que el conjunto de números que son potencias de 2 son un conjunto infinitamente contable?

Answer 1

¿Cómo se define un poder de dos? Cualquier número real mayor que 0 es 2 elevado a la potencia de algo. Si desea encontrar ese algo, tome la base de registro 2.

[matemáticas] a = 2 ^ {\ log_2a} [/ matemáticas]

Según esta definición, hay un número infinito incontable de potencias de 2. Si, sin embargo, quiere decir que las potencias de 2 se parecen a:

{2, 4, 8, 16, 32, …}

Luego puede restringir su definición a algo como:

[matemáticas] \ {x | \ log_2x \ in \ N \} [/ matemáticas]

O, si desea incluir [matemáticas] \ frac12 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac14 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac18 [/ matemáticas], … puede usar

[matemáticas] \ {x | \ log_2x \ in \ Z \} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que estas definiciones nos dan una forma muy obvia de asociar cada elemento de nuestro conjunto con un número entero único: simplemente tome la base de registro 2. En otras palabras, si cada elemento de nuestro conjunto representa algún número entero a la potencia de dos, podemos etiqueta cada elemento de nuestro conjunto con ese número entero. Si los etiquetamos así, sabemos que cualquier número entero [math] n [/ math] se usará como una etiqueta exactamente una vez con la potencia de dos [math] 2 ^ n [/ math]. Como podemos poner los conjuntos en correspondencia uno a uno como esta, deben tener la misma cardinalidad. Los enteros tienen cardinalidad [math] \ aleph_0 [/ math], también conocido como infinito contable, por lo tanto, los poderes de dos también deben ser contablemente infinitos. QED

Answer 2

Podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los números naturales [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] y los números que son potencias de dos así: [math] n \ leftrightarrow 2 ^ n [/ math ] Esto muestra que la cardinalidad del conjunto de números que son potencias de dos debe ser la misma que la cardinalidad de los números naturales, que es QED infinitamente contable.

Answer 3

Puede escribir directamente una secuencia que proporcione un mapa de surjective (de hecho bijective) [math] \ mathbb {N} \ rightarrow P [/ math] donde [math] P [/ math] denota su conjunto de poderes de 2:

[matemáticas] n \ mapsto p_n = 2 ^ n [/ matemáticas]

Answer 4

Primero creemos el conjunto de números que son potencias de 2, es decir:

A = {… 0.0625, 0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16…} esto es similar a

A = {… 2 ^ (- 4), 2 ^ (- 3), 2 ^ (- 2), 2 ^ (- 1), 2 ^ 0, 2 ^ 1, 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4 …} se puede escribir como

A = {2 ^ n | n es N} y N es un conjunto de todos los números naturales que es contablemente infinito.

así que el conjunto A también será contablemente infinito.

Answer 5

El conjunto de potencias de 2 es un subconjunto de los números naturales.
Los números naturales son infinitamente contables.
Un subconjunto de un conjunto infinitamente contable es infinitamente contable o finito
El conjunto de poderes de 2 no es finito
Por lo tanto, el conjunto es infinitamente contable y ya está 🙂

Answer 6

Suponiendo que quiere decir potencias positivas (aunque la prueba de potencias enteras es lo suficientemente similar) Construya la función biyectiva

[matemáticas] f: A \ rightarrow \ mathbb {N}: 2 ^ n \ rightarrow n [/ math]

Dónde

[matemáticas] A = \ {2 ^ n | n \ in \ mathbb {N} \} [/ matemáticas]

Luego ha demostrado que existe una función biyectiva desde [matemática] A [/ matemática] a los números naturales. Por lo tanto, [matemática] A [/ matemática] es infinitamente contable.

NB: La existencia de una biyección de un conjunto [math] X [/ math] a [math] \ mathbb {N} [/ math] es el único requisito para que [math] X [/ math] sea infinitamente contable. Si existe tal biyección, lo denotamos como [math] X \ sim [/ math] [math] \ mathbb {N} [/ math]

Answer 7

puedes contarlos? sí: 2,4,8,16,32 … eso es 5

¿tomaría una eternidad contarlos a todos? si. Cuente tantos como pueda, tome el último que contó, multiplíquelo por dos, tiene más que contar …

entonces es infinitamente contable. También podría usar cualquiera de un millón de posibles funciones biyectivas: aquí hay una:

Sea f la función que asocia un número natural n al número de cadenas de bits que se pueden representar con n + 1 bits.

n = 0 – cadenas de 2 bits (0 y 1)

n = 1 – cadenas de 4 bits (00, 01, 10, 11)

n = 2 – cadenas de 8 bits …

…

Answer 8

Ponga el conjunto de números (potencias de 2) en una correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros positivos que se utilizan como exponentes en el conjunto de potencias de 2.