[matemáticas] A = \ dfrac1 {3n-2} – \ dfrac1 {3n + 2} [/ matemáticas] ¿cuál es la suma parcial y la serie es convergente o divergente?

La suma parcial de esta serie, o

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac {1} {3n-2} – \ frac {1} {3n + 2} [/ matemáticas]

se puede escribir igualmente como

[matemáticas] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {3m + 1} + \ sum_ {n = 1} ^ m + 1 \ frac {1} {3n-2} – \ frac {1} {3n-1} [/ matemáticas]

que es igual a

[matemáticas] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {3m + 1} + \ sum_ {n = 0} ^ m \ frac {1} {3n + 1} – \ frac {1} {3n +2} [/ matemáticas]

que se puede simplificar a

[matemáticas] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {3m + 1} + \ sum_ {n = 0} ^ m \ frac {1} {9n ^ 2–9n + 2} [/ matemáticas]

Tenemos eso

Como m tiende al infinito, esta suma tiende [math] \ frac {π} {3 \ sqrt {3}} [/ math], por lo que la serie en sí misma converge a [math] \ frac {1} {2} + \ frac {π} {3 \ sqrt {3}} [/ math]