¿Cuánto tiempo pasará antes de que las computadoras puedan probar si [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ {\ pi}}} [/ math] es un número entero o no?

Nunca.

Las computadoras en realidad no tienen representaciones perfectas de números, ya que tal cosa es imposible con un número finito de bits para su representación. En su lugar, usamos representaciones aproximadas, como enteros y coma flotante. De hecho, esta es una fuente de mucha angustia en algunas aplicaciones, especialmente en las supercomputadoras. Incluso hay un campo (aunque moribundo) de análisis numérico que intenta mantener la computación estable bajo estas representaciones de bits.

Ahora, sobre pi, pi como sabes, no tiene una representación binaria perfecta, por lo que una computadora no podrá calcular perfectamente la expresión que has dado.

Ahora, por supuesto, podría usar algo lo suficientemente cerca, pero surge un gran problema porque no sabe cuánto de su respuesta es correcta. Por lo tanto, necesitaría algo como aritmética de precisión extendida, como aritmética de punto fijo de 128K bit o de coma flotante, lo cual es una locura y nunca tendrá una implementación de hardware, y no importa cuán rápido lleguen nuestras computadoras, el final de la ley de Moore está cerca, y No llegarás a tiempo.