¿Cómo podría probar que una secuencia bien definida está aumentando estrictamente?

Answer 1

Esto es algo complicado, porque cada vez que n aumenta, obtienes un término adicional pero los términos antiguos se vuelven más pequeños. Puede haber algún argumento limpio, pero presentaré un método de fuerza bruta que se basa en expansiones asintóticas de las sumas.

Considere la serie binomial (aplicable aquí para n al menos 2) para tener una idea de cuál es la suma y buscaremos truncarla.

[matemáticas] (n ^ 2 + k) ^ {- 1/2} = (1 / n) (1+ \ frac k {n ^ 2}) ^ {- 1/2} = \ frac 1n (1 – ( 1/2) \ frac k {n ^ 2} + (3/8) (\ frac k {n ^ 2}) ^ 2 – (5/16) (\ frac k {n ^ 2}) ^ 3 +… ) [/matemáticas]

Al tomar n lo suficientemente grande, puede asegurarse de que el término k-ésimo esté dentro de

[matemáticas] (1 / n) (\ frac k {n ^ 2}) ^ 3 [/ matemáticas] de [matemáticas] (1 / n) (1 – (1/2) \ frac k {n ^ 2} + (3/8) (\ frac k {n ^ 2}) ^ 2). [/matemáticas]

A medida que los sumes, estarás dentro de [matemáticas] (1 / n) (1 / n ^ 6) (n (n + 1) / 2) ^ 2 [/ matemáticas] (que es aproximadamente 1/4 n ^ 3) de

[matemáticas] 1 – (1/4) \ frac {n + 1} {n ^ 2} + (1/16) \ frac {(n + 1) (2n + 1)} {n ^ 4} [/ matemáticas ]

Cuando resta la expresión anterior para (n) de la de (n + 1) obtiene asintóticamente alguna constante sobre n ^ 2, que será mayor que el error de la expansión.

Entonces esto ya prueba la monotonicidad para n lo suficientemente grande. Puede jugar con estos argumentos para refinarlos (tal vez use el hecho de que la serie se alterna para hacer diferentes puntos de corte para n y n + 1) para descubrir algunos n específicos para los que definitivamente funciona. Luego verificaría la monotonicidad para n menor, probablemente por computadora.

De nuevo, puede haber algunos trucos ingeniosos para evitar cosas pesadas, pero lo anterior ciertamente funciona.

Answer 2

Al menos dos formas diferentes:

1. Prueba directa: al demostrar que [math] a_ {n + 1}> a_n \ forall n [/ math] demostramos que la secuencia [math] a_n [/ math] está aumentando estrictamente.
2. Si hay una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] para la cual [math] a_n = f (n) \ forall n [/ math] (entonces todos los valores de secuencia se encuentran en una curva de función real) y [math] f [/ math] está estrictamente aumentando monotónicamente, entonces también tenemos nuestra prueba. Podríamos probar esto demostrando que [math] f [/ math] es diferenciable y [math] f ‘(x)> 0 \ forall x [/ math] por ejemplo.

En el caso de su secuencia, al menos la primera opción es posible. Avísame si quieres la prueba de tu secuencia.

Answer 3

Diferenciar la función. Si la derivada es siempre> 0, entonces la prueba está completa. La función es integral (x ^ 2 + 4) ^ (- 1/2)) entre los límites 1 yx, por lo que la derivada es x ^ 2 + 4) ^ (- 1 / 2) que siempre es positivo si x> 1.