Cómo demostrar que [math] w = cis \ frac {2 \ pi} {n} [/ math] es la raíz [math] n ^ {th} [/ math] de la unidad con el argumento positivo más pequeño

Answer 1

De Moivre

[matemáticas] (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ n = \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta) [/ math]

Para la raíz de unidad [matemáticas] n [/ matemáticas] queremos que sea una. Entonces estamos interesados ​​en las soluciones para [math] \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta) = 1 [/ math]

Igualar partes reales, eso es

[matemáticas] \ cos (n \ theta) = 1 [/ matemáticas]

Esto ocurre precisamente cuando [math] n \ theta = 2 \ pi k [/ math] para algún número entero [math] k. [/ Math]

[matemáticas] \ theta = \ dfrac {2 \ pi k} {n} [/ matemáticas]

[matemática] \ theta [/ matemática] es una función que aumenta linealmente de [matemática] k, [/ matemática] y [matemática] \ theta = 0 [/ matemática] cuando [matemática] k = 0 [/ matemática], entonces el El más pequeño positivo [matemática] \ theta [/ matemática] debe venir cuando [matemática] k = 1, [/ matemática] o

[matemáticas] \ theta = \ dfrac {2 \ pi} {n} [/ matemáticas]

Answer 2

Usar prueba por contradicción.

Supongamos que existe una [matemática] n ^ {\ text {th}} [/ matemática] raíz de la unidad [matemática] \ omega = e ^ {i \ theta} [/ matemática] con un argumento positivo menor que [ matemáticas] \ dfrac {2 \ pi} {n}. [/ matemáticas]

Es decir,

[matemáticas] \ theta <\ dfrac {2 \ pi} {n} \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora sabemos que

[matemáticas] \ omega ^ n = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {in \ theta} = e ^ {i (2k \ pi)} \ tag * {} [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] n \ theta = 2k \ pi \ tag {1} [/ matemáticas]

Para algún número natural [matemática] k [/ matemática] porque [matemática] \ theta> 0. [/ Matemática]

Pero por suposición,

[matemáticas] \ theta <\ dfrac {2 \ pi} {n} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] n \ theta <2 \ pi \ tag * {} [/ matemáticas]

De [matemáticas] (1): [/ matemáticas]

[matemáticas] 2k \ pi <2 \ pi \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] k <1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Como no hay números naturales menores que [math] 1, [/ math] surge una contradicción. Por lo tanto, nuestra suposición debe ser incorrecta y [math] \ operatorname {cis} \ big (\ dfrac {2 \ pi} {n} \ big) [/ math] es [math] n ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] raíz de la unidad con el argumento positivo más pequeño.

Answer 3

Usando lo que sé sobre formas polares y números complejos,

[matemáticas] cis (\ frac {2π} {n}) = e ^ {i \ frac {2π} {n}} [/ matemáticas]

Ahora, usando algunas propiedades exponentes,

[matemáticas] \ implica (e ^ {πi}) ^ {\ frac {2} {n}} [/ matemáticas]

Usando la identidad de Euler,

[matemáticas] \ implica (-1) ^ {\ frac {2} {n}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica cis (\ frac {2π} {n}) = 1 ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas]

QED

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Además, considerando solo los argumentos positivos (juego de palabras no intencionado), vemos que [math] 0 [/ math] [math] rad [/ math] es el valor mínimo no negativo para cualquier número complejo, y se logra cuando el co- eficiente de [math] i [/ math] es cero (real puro). Esto es cuando la raíz [matemática] n ^ {th} [/ matemática] de [matemática] 1 [/ matemática] es también [matemática] 1 [/ matemática], que es, para todos [matemática] n [/ matemática ]

Ahí tienes.