Cómo resolver la ecuación cúbica [matemáticas] x ^ 3 + x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Resolveremos este problema utilizando el Método de sustitución de Vieta.

Vamos a sustituir [matemáticas] x = y – \ dfrac {1} {3y} [/ matemáticas] en la ecuación dada [matemáticas] x ^ 3 + x + 1 = 0 [/ matemáticas].

Esto nos da la ecuación [matemática] \ izquierda (y ^ 3 \ derecha) ^ 2 + y ^ 3 – \ dfrac {1} {27} = 0 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow y ^ 3 = \ dfrac {-9 \ pm \ sqrt {93}} {18} [/ math]

[math] \ Rightarrow y = \ dfrac {\ sqrt [3] {\ dfrac {1} {2} \ left (-9 \ pm \ sqrt {93} \ right)}} {3 ^ {\ frac {2} {3}}} [/ matemáticas]

Además, [math] \ dfrac {1} {3y} = \ sqrt [3] {\ dfrac {2} {3 \ left (-9 \ pm \ sqrt {93} \ right)}} [/ math]

Entonces, [matemáticas] x = \ dfrac {\ sqrt [3] {\ dfrac {1} {2} \ left (-9 \ pm \ sqrt {93} \ right)}} {3 ^ {\ frac {2} {3}}} – \ sqrt [3] {\ dfrac {2} {3 \ left (-9 \ pm \ sqrt {93} \ right)}} [/ math]

Además, tenga en cuenta que, cuando tomamos [math] \ Rightarrow y ^ 3 = \ dfrac {-9 – \ sqrt {93}} {18} [/ math]

Entonces, [matemática] x \ aprox – \ dfrac {4} {3} [/ matemática], pero la solución real de la ecuación existe en el rango [matemática] \ izquierda [-1, 0 \ derecha] [/ matemática] porque para [matemática] f (x) = x ^ 3 + x + 1 [/ matemática], [matemática] f (-1) = -1 [/ matemática], [matemática] f (0) = 1 [/ matemática] , y también [math] \ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} f (x) = 6x [/ math], es decir, [math] f (x) [/ math] aumenta para [math] x> 0 [/ matemática] y disminuye para [matemática] x <0 [/ matemática], por lo tanto, la solución existe solo en el rango [matemática] [- 1, 0] [/ matemática], entonces:

[matemáticas] x = \ dfrac {\ sqrt [3] {\ dfrac {1} {2} \ left (-9 + \ sqrt {93} \ right)}} {3 ^ {\ frac {2} {3} }} – \ sqrt [3] {\ dfrac {2} {3 \ left (-9 + \ sqrt {93} \ right)}} [/ math]

Ahora, también puede verificar la solución Wolframalpha.

Answer 2

Resolver la ecuación dada implica un largo proceso de sustituciones, cálculos, cálculos y sustituciones posteriores.

La ecuación se puede resolver con Mathematica escribiendo el código:

Resolver [x ^ 3 + x + 1 == 0, x]

Se obtienen tres soluciones (una de valor real y dos de valor complejo):

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {\ sqrt [3] {\ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} {3 ^ {2/3}} – \ sqrt [3] {\ frac {2} {3 \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} \ approx -0.682327803828019 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {1-i \ sqrt {3}} {2 ^ {2/3} \ sqrt [3] {3 \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} – \ frac {\ left (1 + i \ sqrt {3} \ right) \ sqrt [3] {\ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} {2 \ 3 ^ {2/3}} [/ matemáticas]

o aproximadamente [matemáticas] x \ aproximadamente 0.341163901914010-1.161541399997252 i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {1 + i \ sqrt {3}} {2 ^ {2/3} \ sqrt [3] {3 \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} – \ frac {\ left (1-i \ sqrt {3} \ right) \ sqrt [3] {\ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {93} -9 \ right)}} {2 \ 3 ^ {2/3}} [/ matemáticas]

o numéricamente [matemáticas] x \ aproximadamente 0.341163901914010 + 1.161541399997252 i [/ matemáticas]

A continuación se muestra una gráfica de la parte real de [matemáticas] x ^ 3 + x + 1 [/ matemáticas] (hecha con Mathematica):

Answer 3

Una ecuación cúbica puede tener 3,2 o 1 raíz

Deje f (x) = x ^ 3 + x ^ 2 + 1

Entonces f ‘(x) = 3x ^ 2 = 0 implica x = 0

F ” (x) = 6x

Se puede ver que para x <0 F '' (x) <0 y otras condiciones similares.

Por lo tanto, esta ecuación tiene solo una raíz entre -1 y 0.

solo puedes encontrar esta raíz presionando e intentando.

Si llegaste a conocer cualquier otro método, házmelo saber.

Answer 4

La solución solo se encuentra mediante el método hit y trial.