Cómo demostrar que [matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} = – (- 1) ^ n

Answer 1

Al contrario de lo que dicen las otras respuestas, este problema requiere algo de trabajo para todos los [matemáticos] n [/ matemáticos] reales, a menos que comience con un teorema que implique inmediatamente la conclusión. Cualquier “prueba” que se base en la multiplicación repetida como una definición de exponenciación o una propiedad derivada de esa idea en realidad solo es válida para [math] n \ in \ mathbb N [/ math] mientras pregunta específicamente sobre [math] n \ in \ mathbb R [/ math]

Para mostrar la igualdad, primero debemos definir [matemática] a ^ n [/ matemática] para real [matemática] a, n [/ matemática]. La definición más común es

[math] a ^ n = \ exp ({n \ ln a}) [/ math] con [math] \ exp [/ math] y [math] \ ln [/ math] denotando el complejo (a veces de valores múltiples) funciones de registro exponencial y natural.

La prueba de su resultado se deduce de las propiedades de estas funciones.

[matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} = \ exp ((n + 1) \ ln (-1)) = \ exp (n \ ln (-1)) \ exp (\ ln (-1) )[/matemáticas]

Ahora el logaritmo natural del negativo es multivalor y viene dado por

[math] \ ln (-1) = \ ln (\ exp (i \ pi (1 + 2k))) = i \ pi (1 + 2k) [/ math] para cualquier [math] k \ in \ mathbb Z [/matemáticas]

Entonces obtenemos

[matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} = \ exp (ni \ pi (1 + 2k)) \ exp (i \ pi (1 + 2k)) [/ matemáticas]

Ahora el argumento del segundo exponencial es siempre un múltiplo impar de [math] \ pi i [/ math], así que vemos

[matemáticas] \ exp (i \ pi (1 + 2k)) = – 1 [/ matemáticas]

Ahora tenemos

[matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} = – \ exp (ni \ pi (1 + 2k)) [/ matemáticas]

Similar:

[matemáticas] – (- 1) ^ n = – \ exp (n \ ln (-1)) = – \ exp (ni \ pi (1 + 2m)) [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] m \ in \ mathbb Z [/ math]

Entonces vemos que el conjunto de valores dados por [math] (- 1) ^ {n + 1} = – \ exp (ni \ pi (1 + 2k)) [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbb Z [/ math] es idéntico al conjunto de valores dados por [math] – (- 1) ^ {n} = – \ exp (ni \ pi (1 + 2m)) [/ math] para algunos [math] m \ in \ mathbb Z [/ math]. Como los dos conjuntos de valores son idénticos, concluimos que las dos expresiones son de hecho iguales.

.

Answer 2

[matemáticas] (-1) ^ {(n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (- 1) ^ n × (-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – (- 1) ^ n [/ matemáticas]

---

Nota: ¿Alguien puede decirme cómo escribir en potencia en este formato? Lo siento, soy nuevo aquí. Y su ayuda sería muy apreciada. 😀

Answer 3

Las otras respuestas son geniales, excepto que (actualmente) les falta un problema con su pregunta.

Usted preguntó “¿Cómo pruebo la expresión que se muestra arriba para cualquier valor real? n ? ” [énfasis agregado]

La expresión está destinada a dar una secuencia que alterna entre más y menos 1 (es decir, [[matemática] 1, -1,1, -1, …] [/ matemática]), y se usa típicamente en sumaciones como esta

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n (-1) ^ i * f (i) = f (0) – f (1) + f (2) – f (3)… [/ matemáticas]

Solo es cierto para los enteros, no para los reales. En el momento en que usa un valor no entero para n , ingresa a números complejos.

Answer 4

Hay dos casos. n es par o impar.

Si n es par, n + 1 es impar, entonces LHS = -1, RHS = -1.

Si n es impar, n + 1 es par, entonces LHS = 1, RHS = – (- 1) = 1.

Esto cubre todas las posibilidades para n.

Answer 5

Tenga en cuenta que [matemáticas] a ^ b. a ^ c = a ^ {b + c} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] -1 (-1) ^ n = (-1) ^ {n + 1} [/ matemática]

Answer 6

Answer 7

Pensemos en lo que significa elevar un número a la enésima potencia. Simplemente lo estás multiplicando por sí mismo n veces. Por ejemplo, 4 a la quinta potencia es 4 * 4 * 4 * 4 * 4. Entonces (-1) a la potencia n + 1 si simplemente -1 * -1 * -1 * …, etc n + 1 veces. Entonces (-1) a la potencia número 100 es -1 multiplicado por sí mismo 100 veces, pero puedes pensar que es -1 multiplicado por sí mismo 99 veces y luego nuevamente por -1. En otras palabras (-1) ^ 100 = (-1) ^ 99 * -1 o simplemente – (- 1) ^ 99. Independientemente de lo que sea “n”, (-1) a la potencia n + 1 es simplemente -1 multiplicado por sí mismo n veces y luego una vez más por -1.

Por lo tanto (-1) ^ (n + 1) = (-1) ^ n * -1

o simplemente – (- 1) ^ n

Answer 8

(-1) ^ n + 1 =

(-1) ^ nx (-1) ^ 1 =. Porque m ^ a + b = m ^ axm ^ b

(-1) ^ nx (-1) =. Porque m ^ 1 = m

(-1) x (-1) ^ n = Propiedad conmutativa de la multiplicación

– (- 1) ^ n Porque -1 xm = -m

Answer 9

Cuando escribes, de un número significa

-a = (- 1) * a

De este modo, – (- 1) ^ n no es más que (-1) (- 1) ^ n.

Aplique leyes de índices y obtenga su resultado.

a ^ 1 = a & a ^ m * a ^ n = a ^ (m + n)

Answer 10

a ^ (m + n) = a ^ m × a ^ n

(-1) ^ (n + 1) = (-1) ^ n × (-1) ^ 1

=> (-1) ^ n × -1 { desde (-1) ^ 1 = -1 }

=> – (- 1) ^ n {desde -1 × x = -x}

Por lo tanto demostrado!

Answer 11

Recordar que

[matemáticas] a ^ m \ cdot a ^ n = a ^ {m + n} [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] (- 1) ^ {n + 1} = (- 1) ^ n \ cdot (-1) ^ 1 = – (- 1) ^ n [/ matemáticas]

Answer 12

(—1) ^ (n + 1) = (- 1) ^ 1 × (—1) ^ n = – (- 1) ^ n