¿Qué sería el resto cuando [matemáticas] x ^ {12} -x ^ 6 + 1 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Qué sería el resto cuando [matemáticas] x ^ {12} -x ^ 6 + 1 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas] ?

La mayoría de las respuestas hasta ahora han dicho correctamente que el resto es 1, pero muchas de ellas parecen haber encontrado esa respuesta al llevar a cabo la división. Parece que solo la respuesta de Dhruvam Panchal reconoció la forma rápida de encontrar el resto, que es utilizar una versión modificada del Teorema del resto:

• Cuando un polinomio [matemático] f (x) [/ matemático] se divide por [matemático] xa [/ matemático], el resto es [matemático] f (a) [/ matemático].

En este caso estamos dividiendo entre [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas], por lo que el denominador no tiene la forma correcta, pero si observamos que [matemáticas] x ^ {12} -x ^ 6 + 1 = f (x ^ 2) [/ math] donde [math] f (t) = t ^ 6-t ^ 3 + 1 [/ math], luego el resto de [math] \ dfrac {f (x ^ 2)} {x ^ 2-1} [/ math] será lo mismo que el resto de [math] \ dfrac {f (t)} {t-1} [/ math], que (según el Teorema del resto) es igual a [math ] f (1) = 1 [/ matemáticas].

Por el mismo razonamiento:

• El resto de [matemáticas] \ frac {x ^ {14} -5x ^ 2 + 17} {x ^ 2 + 3} = [/ matemáticas] [matemáticas] (- 3) ^ 7-5 (-3) + 17 = -2155 [/ matemáticas]
• El resto de [matemáticas] \ frac {x ^ {150} + 2x ^ {66} + x ^ 6} {x ^ 3-2} = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ {50} +2 \ cdot 2 ^ {22} + 2 ^ 2 = 1 \, 125 \, 899 \, 915 \, 231 \, 236 [/ matemáticas]

(¡No creo que quieras encontrar esos restos llevando a cabo la división larga!)

Tenga en cuenta que este enfoque no ayudaría si queremos que el resto de [matemáticas] x ^ {12} -x ^ {\ color {rojo} {7}} + 1 [/ matemáticas] dividido por [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas].

Answer 2

El polinomio [matemático] x ^ 2–1 [/ matemático] divide cada uno de los polinomios [matemático] (x ^ 2) ^ 6–1 = x ^ {12} -1 [/ matemático] y [matemático] (x ^ 2) ^ 3–1 = x ^ 6–1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] x ^ 2–1 [/ math] divide [math] (x ^ {12} -1) – (x ^ 6–1) = x ^ {12} -x ^ 6 [/ math]. El resto es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Deje y = x²

Entonces dejamos f (y) = y ^ 6 — y³ + 1

Luego, por el TEOREMA RESTANTE,

El resto cuando f (y) se divide por ((y — 2) es, (tenga en cuenta que ahora y = x²)

= f (1)

= 1 ^ 6– (1) ³ +1

= 1

Answer 4

Para encontrar el recordatorio, lo que debe hacer es poner x ^ 2–1 = 0
Obtienes x = 1 o -1
Sustituya en la ecuación x ^ 12-x ^ 6 + 1 y obtendrá la respuesta 1 para x = 1 o -1 y la respuesta que obtendrá es el recordatorio.

Entonces, en este caso el recordatorio es 1.

Answer 5

Puedo ver la respuesta desde aquí 🙂

[matemáticas] x ^ {12} -x ^ 6 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 6 (x ^ 6–1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 6 (x ^ 3 + 1) (x ^ 3–1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 6 \ color {rojo} {(x ^ 2–1)} (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2-x + 1) + \ boxed {1} [/ matemáticas]

Answer 6

Obtuve 1 como el resto.

Siéntete libre de corregirme si me equivoco.

Answer 7

El resto sería 1, con un cociente de x ^ 10 + x ^ 8 + x ^ 6