Prueba 1: (Uso del análisis caso por caso)
Si al menos uno de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] es divisible por 3, entonces la afirmación es verdadera, de lo contrario los residuos módulo 3 de [matemática] a, b [/ matemática] se encuentran en el establecer [matemáticas] \ {1, -1 \} [/ matemáticas]. Si ambos [math] a [/ math], [math] b [/ math] tienen el mismo residuo, entonces [math] ab [/ math] es divisible por 3 y si [math] a [/ math], [math ] b [/ math] tiene residuos distintos, entonces [math] a + b [/ math] es divisible por 3.
Si no le gusta el análisis caso por caso, hay pruebas alternativas.
Prueba 2: (Usando el pequeño teorema de Fermat)
- Un objetivo circular tiene regiones de puntuación de 5 y 7 puntos. ¿Cuál es el puntaje más grande que no se puede obtener?
- ¿Qué cursos de matemática se deben tomar en los años de pregrado y posgrado si se planea especializarse en teoría de números?
- ¿Cómo resolverías [matemáticas] 2 ^ n + n = m! [/ Matemáticas] sobre enteros positivos?
- ¿Cómo se procesan a && by a || b en la programación en C si a y b son números enteros?
- ¿Cuál es el resto de [matemáticas] \ dfrac {9 + 99 ^ 2 + 999 ^ 3 + 9999 ^ 4 + 99999 ^ 5} {77} [/ matemáticas]?
Para cualquier número entero [math] x [/ math], como [math] x ^ 3 \ equiv x \ mod 3 [/ math] tenemos [math] ab (ab) (a + b) = a ^ 3b-ab ^ 3 \ equiv ab-ab \ equiv 0 \ mod 3 [/ math]. Por lo tanto, [math] ab (ab) (a + b) [/ math] es un múltiplo de 3, lo que implica que al menos uno de [math] a, b, a + b, ab [/ math] es un múltiplo de 3. Este método de prueba da un resultado general: al menos uno de los cuatro números [matemática] a, b, ab, \ frac {a ^ {p-1} -b ^ {p-1}} {ab} [/ matemática ] es divisible por [matemáticas] p [/ matemáticas] si [matemáticas] p [/ matemáticas] es un número primo.
Prueba 3: (Usando propiedades elementales de la raíz cúbica de la unidad)
Deje que [math] w = e ^ {\ frac {2 \ pi} {3}} [/ math] denota la raíz del cubo no real de la unidad. Hay una propiedad de [math] w [/ math] relacionada con los múltiplos de 3. Para cualquier número entero [math] n [/ math] sea [math] f (n) = 1 + w ^ n + w ^ {2n }[/matemáticas]. Si [matemática] n [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática] entonces [matemática] f (n) = 3 [/ matemática] y [matemática] f (n) = 0 [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] no es múltiplo de 3. Por lo tanto, [matemática] \ frac {1} {3} f (n) [/ matemática] actúa como la función indicadora de los múltiplos de 3. Por lo tanto, tres veces el número de múltiplos de 3 en [matemáticas] S = \ {a, b, a + b, ab \} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] f (a) + f (b) + f (a + b) + f (ab) [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] f (a) + f (b) + f (a + b) + f (ab) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 + w ^ a + w ^ {2a} + 1 + w ^ {b} + w ^ {2b} + 1 + w ^ {a + b} + w ^ {2a + 2b} +1+ w ^ {ab} + w ^ {2a-2b} [/ matemáticas].
Pero como [matemáticas] w ^ {ab} = w ^ {a + 2b} [/ matemáticas] y [matemáticas] w ^ {2a-2b} = w ^ {2a + b} [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] f (a) + f (b) + f (a + b) + f (ab) = 3 + (1 + w ^ a + w ^ {2a} + w ^ {b} + w ^ {2b} + w ^ {a + b} + w ^ {2a + 2b} + w ^ {a + 2b} + w ^ {2a + b}) = 3+ (1 + w ^ a + w ^ 2a) (1 + w ^ b + w ^ {2b}) = 3 + f (a) f (b) [/ math].
Pero como [matemáticas] f (a), f (b) [/ matemáticas] no son negativas, tenemos tres veces el número de múltiplos de 3 en el conjunto [matemáticas] S [/ matemáticas] igual a [matemáticas] 3+ f (a) f (b) \ geq 3. [/ math] Por lo tanto, hay un múltiplo de [math] 3 [/ math] en el conjunto [math] S [/ math] que completa la prueba.
Aunque la tercera prueba es un poco complicada, ofrece una forma alternativa de contar los múltiplos de un número [math] n [/ math] en un conjunto. En general, para contar el número de múltiplos en un conjunto podemos usar la función [matemáticas] f_n (m) = 1 + w_n ^ {m} + w_n ^ {2m} + \ cdots + w_n ^ {(n- 1) m} [/ math] donde [math] w_n = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}} [/ math]. Tenemos la propiedad [math] f_n (m) = n [/ math] si [math] m [/ math] es un múltiplo de [math] n [/ math] y [math] f_n (m) = 0 [/ matemáticas] de lo contrario. Por lo tanto, [math] \ frac {1} {n} f_n (m) [/ math] actúa como la función indicadora del conjunto de múltiplos de [math] n. [/ Math] Por lo tanto, una expresión alternativa para el número de múltiplos en un set [math] S [/ math] es [math] \ sum_ {m \ in S} \ frac {1} {n} f_n (m). [/ math]