¿Es cero un número triangular?

Answer 1

Si. Hay cuatro formas de definir números triangulares:

• por la suma [matemática] T_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni [/ matemática];
• por la relación de recurrencia [matemática] T_1 = 1 [/ matemática], [matemática] T_n = T_ {n – 1} + n [/ matemática];
• por la fórmula cerrada [matemáticas] T_n = \ tfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas];
• por el coeficiente binomial [matemática] T_n = \ tbinom {n + 1} {2} [/ matemática].

Todas estas definiciones resultan equivalentes, y todas se extienden naturalmente a [matemática] T_0 = 0 [/ matemática]: la suma se convierte en una suma vacía y, de hecho (como suele ser el caso) [matemática] T_0 [/ matemática] hace un caso base más natural para la relación de recurrencia que [matemática] T_1 [/ matemática].

(Las últimas tres definiciones se extienden aún más allá de [matemáticas] T _ {- 1} = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] T _ {- 2} = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] T _ {- 3} = 3 [/ matemáticas], etc. Incluso puede ver que esto está de acuerdo con la primera definición según la convención natural [matemáticas] \ sum_ {i = b} ^ {a – 1} = – \ sum_ {i = a} ^ {b – 1} [/ math] (Karr, 1981), análogo a la regla bien establecida para integrales [math] \ int_b ^ a = – \ int_a ^ b [/ math]. Pero no obtenemos nuevos números triangulares de esa manera, desde [math] T _ {- n} = T_ {n – 1} [/ math].)

Por lo tanto, es una buena idea contar 0 como triangular, al igual que lo contamos como cuadrado. Esto simplifica las declaraciones sobre números triangulares al evitar la necesidad de casos especiales. Por ejemplo, un número entero [math] k [/ math] es triangular si y solo si [math] 8k + 1 [/ math] es cuadrado.

Answer 2

Al igual que muchos problemas similares, depende exactamente de cómo se defina un “número triangular”. En el caso de los números primos, existe una definición universalmente aceptada que todos usan, porque cualquier otra forma haría fea la declaración de factorización única. Por otro lado, cuando tienes algo como los números triangulares, la mayoría de tus resultados no dependerán de si consideras 0 un número triangular o no; en consecuencia, a nadie realmente le importa hacer una distinción tan precisa y tener a todos los matemáticos del mundo a bordo.

Tenga en cuenta en particular que los matemáticos no parecen estar de acuerdo sobre si 0 es un número natural o no, y que ambos conjuntos que probablemente se denominen “los números naturales” (a saber, los enteros positivos o no negativos) son mucho más importante en matemáticas que los números triangulares.

(Para el caso, en la mayoría de los casos, probablemente haya poca objeción para clasificar los números negativos como “triangulares”).

Answer 3

Un número triangular es un tipo especial de número figurado. La palabra figurada pretende transmitir el significado de dibujar un conjunto discreto y finito de puntos en forma de alguna figura geométrica particular. Alguna medida del tamaño de la figura se basa en el número de puntos que forman la figura, que dependerá de alguna medida entera. Se puede desarrollar una fórmula algebraica para determinar el número total de puntos en función de la medida entera. Desde un punto de vista geométrico, la figura más pequeña de cualquier tipo que se pueda hacer implica 1 punto. De hecho, 1 es un caso degenerado para todas las categorías de números figurados: números cuadrados, números cúbicos, números triangulares, números tetraédricos, … y 1 es el más pequeño que cualquiera de estos tipos de números puede ser y tiene alguna apariencia de la forma de tales números. una figura. Intentar hacer una figura de 0 puntos no tiene sentido, sería invisible y, por lo tanto, inexistente. Por lo tanto, el sentido geométrico de los números figurados no permite 0. Por otro lado, la fórmula algebraica para cualquier figura producirá 0 siempre que se dé un tamaño entero de 0.
Por lo tanto, tenemos un sentido geométrico de números figurados que excluye el caso 0 y un sentido algebraico de números figurados que incluye el caso 0.
En la práctica típica (pero no universal), los cuadrados y cubos se consideran principalmente algebraicamente, por lo que 0 se consideraría como tal número. Esto se debe a que el cuadrado y el cubo se usan en el contexto algebraico de segunda potencia y tercera potencia, respectivamente. Tendemos a pensar en los poderes (como el cuarto poder) como conceptos estrictamente algebraicos en lugar de figuras geométricas, y los poderes segundo y tercero generalmente se tratan de la misma manera. Por lo tanto, 0 generalmente se considera como un cuadrado y cubo perfectos. Otros números figurados, como los números triangulares, suenan firmemente como formas geométricas y solo como tales. Como las imágenes vacías no sugieren ninguna figura geométrica real, el 0 generalmente no se considera como un número figurado. La palabra operativa aquí es “generalmente”. Si tiene una aplicación algebraica particular para la cual 0 tiene sentido y la forma figurada no es cuadrada ni cubo, entonces incluya 0 en su definición de número triangular u otro número figurado; Si tiene cuadrados y cubos para los cuales 0 no tiene sentido, deje 0 como opción. Simplemente déjele saber a la gente lo que está haciendo, especialmente si no sigue la práctica típica de que 0 es un número cuadrado y cúbico, pero no otro número figurado.