¿Qué cambiaría todo en matemáticas si [matemáticas] [a + b] ^ 2 [/ matemáticas] se definiera como [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Sus corchetes significan algo más que agrupar? Si solo significan agrupación, debemos tener en cuenta que, normalmente, [matemática] x ^ 2 [/ matemática] significa [matemática] x \ veces x [/ matemática]. Si ya no exigimos eso, claro, hay muchas operaciones que se distribuyen entre la suma, pero ¿por qué deberíamos usar la terminología de cuadrar para ellos?

Si todavía consideramos que [matemática] x ^ 2 [/ matemática] significa [matemática] x \ veces x [/ matemática], pero también queremos que [matemática] (a + b) ^ 2 [/ matemática] signifique [matemática] ] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math], entonces debemos pretender que [math] (a + b) \ times (a + b) [/ math] coincida con [math] a \ times a + b \ times b [/ matemáticas]. Suponiendo que la multiplicación todavía se distribuye sobre la suma, y ​​que la resta está disponible de la manera habitual, esto significa que estamos buscando [matemáticas] a \ veces b + b \ veces a [/ matemáticas] para que siempre sea [matemáticas] 0 [/ matemáticas ]; es decir, queremos una noción “antisimétrica” ​​de multiplicación.

Tales nociones ciertamente existen en ciertos contextos; por ejemplo, el producto cruzado de vectores, o la multiplicación en el módulo aritmético 2. La multiplicación antisimétrica está disponible y se utiliza cuando es apropiado. Solo se usa para modelar cosas diferentes de las que son las multiplicaciones más familiares.

Sin embargo, volviendo a la operación de cuadratura, nuestras nociones antisimétricas de multiplicación tendrán la propiedad de que [matemáticas] a \ veces a + a \ veces a = 0 [/ matemáticas]; es decir, [matemáticas] 2a ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Si la capacidad de dividir entre 2 está disponible, esto hará que la cuadratura sea trivial; enviará todo a cero (como en el ejemplo del producto cruzado). Uno puede sortear eso en contextos donde la división por 2 no está disponible (como en el módulo aritmético 2 (por ejemplo, de polinomios, por lo que la cuadratura tampoco es trivialmente identidad)), pero comienza a indicar por qué tales nociones de cuadratura no son del todo tan ampliamente útil como uno podría haber esperado.

Answer 2

Si tuviera que redefinir la cuadratura de esa manera manteniendo la suma igual, entonces se convertiría en una operación inútil:
[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]
Luego tomar f como una función que “cuadra” algo.
[matemáticas] f (a + b) = f (a) + f (b) [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemática] f (a) = c a [/ matemática], donde c es alguna constante. En otras palabras, la cuadratura sería lo mismo que multiplicar por alguna constante.

(Creo que esto es lo que Sridhar Ramesh quiso decir con ‘muchas operaciones que se distribuyen a través de la suma’)

Answer 3

para
[matemáticas] a = 1/2, \\
b = 1/2, \\
[a + b] ^ 2 = 1, \\
a ^ 2 + b ^ 2 = 1/2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, tendrá que redefinir el sistema numérico y / o la suma [1] para que se mantenga la igualdad. p.ej
Si elige un sistema de números compuesto por números de manera que el cuadrado de cada miembro de este sistema se asigne de forma única [2] a la probabilidad de todos los resultados posibles de un experimento hipotético dado, que son mutuamente excluyentes entre sí y [matemáticas] {\ vee} [/ math] asigna a la suma, [math] {\ land} [/ math] asigna a la multiplicación
Decir
[matemáticas] x ^ 2 = P (A), y ^ 2 = P (B), P (A {\ land} B) = (xy) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
y

[matemáticas] P (A \ vee B) = P (A) + P (B) -P (A \ land B) [/ matemáticas]

o
[matemáticas] [x + y] ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]
Como es evidente, una representación como esta sirve para un pequeño propósito, pero la existencia de la igualdad en cuestión.
[1] En consecuencia, redefine la multiplicación y los exponentes.
[2] Por simplicidad.