¿Por qué se puede descomponer cada número positivo en un producto de primos?

Answer 1

Puedes probarlo usando la inducción matemática.
Suponga que se cumple para todos los valores menores que [math] n [/ math]. Ahora bien, [math] n [/ math] es primo (en ese caso ya hemos terminado) o puede escribirse como producto de dos divisores: [math] a \ cdot b [/ math] tal que [math] a <n [/ math] y [math] b <n [/ math] (Esto se deduce de la definición del número primo). Ahora por inducción sabemos que tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] pueden escribirse como producto de primos. Entonces [math] n [/ math] también se puede escribir como un producto de primos combinando estos dos.

Información Adicional
La prueba de que un número tiene una descomposición única en números primos es un poco más complicada. Puede leer más al respecto en http://en.wikipedia.org/wiki/Fun…
En general, todos los grupos (anillos conmutativos para ser específicos) que satisfacen una condición de factorización única se denominan UFD (dominio de factorización único) – http://en.wikipedia.org/wiki/Uni…

Actualización: se actualizó la prueba para usar una inducción fuerte como Anders Kaseorg señaló en el comentario. Gracias.

Answer 2

Si un número no es primo, entonces es producto de factores más pequeños. Ellos, a su vez, si no son primos, son productos de factores más pequeños. Etc., etc., se detiene solo cuando cada factor se ha hecho primo. (Y el proceso debe detenerse eventualmente: si el número original era [matemática] N [/ matemática], entonces solo puede obtener [matemática] N [/ matemática] muchas veces hasta que llegue a 0)

Answer 3

Hola

Si entendió las respuestas intuitivas que se le dieron, entonces ya tiene algo que se parece a una respuesta.

Aquí está una de las pruebas reales del hecho, no es demasiado complicado.

En primer lugar, recordemos la definición de un número primo:
Es un entero que:
1) no es 1
2) solo puede dividirse por sí mismo

rq: 0 y 1 no son números primos (sí, 1 no es un número primo)

Lo que pediste es la existencia de la descomposición de los números primos. La descomposición también es única (si no consideramos el orden de los términos en el producto). Solo veremos la existencia aquí.

rq: la razón por la cual 1 es, por definición, no un número primo es porque queremos poder decir que la descomposición es única y si 1 fuera primo, entonces no lo sería (es decir, si n = u * v, también sería n = 1 * u * v y tendríamos que descomponernos).

Primero un punto simple:

Si un número a no es primo, entonces se puede dividir por otro entero que sea estrictamente mayor que 1 y estrictamente menor que a. De lo contrario, es primo por definición.

En otras palabras, un número “a” es primo o existe otro número entero “b” (1

Ahora la prueba real (la más simple que conozco).

Ahora supongamos que un número no se descompone en un producto de primo y encontremos un absurdo.

aquí viene :

Consideremos el conjunto S de todos los enteros que no se descomponen en un producto de números primos.

Este conjunto S es parte de N (N es aquí el conjunto de todos los enteros), y acabamos de suponer que S no está vacío.

Aquí tenemos que ponernos un poco técnicos: toda la parte no vacía de N tiene un elemento más pequeño … Notaremos un elemento más pequeño de S (y a existe).

De hecho, a no es primo, de lo contrario sería su propia descomposición en un producto de primo y no estaría en el conjunto S, lo que sería absurdo.

Como a no es primo, existen otros dos enteros b y c (1

Ahora, porque a es el número entero más pequeño que no se descompone en un producto de primos, byc, siendo estrictamente inferior a una descomposición en un producto de primos.

es decir: podemos escribir b = b1 * b2 * … y c = c1 * c2 * … (estos productos son finitos, son las descomposiciones de byc en productos de primos).

Por lo tanto, debido a que a = b * c, vemos que a es un producto de prima, lo cual es absurdo ya que consideramos que no … este es el absurdo que estábamos buscando.

Por lo tanto, nuestra primera suposición era falsa y esta suposición era que existía un número que no se descomponía en un producto de números primos.

Que es precisamente lo que querías ver probado.

Espero que haya ayudado.
GW.

Answer 4

Aquí hay una forma súper simple de entender esto. Utiliza un tipo de tamiz en el que cada número primo se enumera en el eje X y todos los números naturales se enumeran en el eje Y. Luego, para cada primo, complete la columna a continuación con el número primo de acuerdo con su frecuencia, por lo que 3 se completa en cada tercera fila, 11 se completa en cada 11ª fila, y así sucesivamente. Estos son los factores primos para los compuestos en el eje Y. El 6, 9 y cada tercera fila siguiente, 3 se completará como factor primo; los días 22, 33 y cada 11a fila siguiente, 11 se completará como factor primo, y así sucesivamente. Siempre serán factores primos para los números con los que están alineados. (Si no se completa nada en una fila menor que el número de la fila, es primo).

Cuando muestreas la factorización prima única de números, las combinaciones de factores primos parecen caóticas y desconcertantes. Sin embargo, visto de esta manera, en un tamiz tabular, se revela la linealidad simple de la distribución. Eso es todo al respecto…. No hay nada misterioso en la descomposición de los números naturales.