¿Para qué enteros positivos [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] es [matemática] 2 ^ x + 3 ^ y [/ matemática] un cuadrado perfecto?

Answer 1

Deje que [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas] sea el cuadrado perfecto. Esto nos da una ecuación con la que podemos trabajar:

[matemáticas] 2 ^ x + 3 ^ y = n ^ 2. [/ matemáticas]

Una forma en que podemos examinar esta ecuación es en un módulo conveniente. Como ya sabemos que [matemáticas] 2 ^ x \ equiv 0 \ pmod {2} [/ matemáticas], comenzamos allí.

[matemáticas] 2 ^ x + 3 ^ y \ equiv 0 + 1 ^ y \ equiv 1 \ pmod {2}, [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] n ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {2} \ Leftrightarrow n \ equiv 1 \ pmod {2}. [/ matemáticas]

Un buen módulo para examinar los cuadrados perfectos (y los cuadrados impares en particular) es el módulo 8 (que afortunadamente puede relacionarse bien con las potencias de 2). Al cuadrar cada uno de los residuos impares del módulo 8, notamos que

[matemáticas] n ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {8}. [/ matemáticas]

Ahora examinamos los posibles valores de [math] 2 ^ x [/ math] módulo 8:

[matemáticas] 2 ^ 1 \ equiv 2 \ pmod {8}, [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 4 \ pmod {8}, [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ m \ equiv 0 \ pmod {8}. [/ matemáticas]
para [matemáticas] m> 2 [/ matemáticas].

También,

[matemáticas] 3 ^ {2k} \ equiv 9 ^ k \ equiv 1 ^ k \ equiv 1 \ pmod {8}, [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ {2k + 1} \ equiv 3 \ cdot 3 ^ k \ equiv 3 \ cdot 1 \ equiv 3 \ pmod {8}. [/ matemáticas]

La única combinación posible de estos residuos que suma 1 módulo 8 es donde [matemática] x> 2 [/ matemática] y [matemática] y = 2k [/ matemática] ([matemática] y [/ matemática] es par). El avance aquí es que [math] y [/ math] debe ser incluso porque esto significa que

[matemáticas] 3 ^ y = 3 ^ {2k} = (3 ^ k) ^ 2, [/ matemáticas]

que es un cuadrado perfecto ¡Nuestra ecuación ahora contiene dos cuadrados perfectos! Esto nos permite examinar una reordenación de la ecuación para hacer uso de una diferencia de cuadrados. Por el momento, dejamos que [matemáticas] a = 3 ^ k [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 ^ x + a ^ 2 = n ^ 2 \ Leftrightarrow 2 ^ x = n ^ 2 – a ^ 2 = (n + a) (n – a). [/ math]

Esto significa que [matemáticas] n + a [/ matemáticas] y [matemáticas] n – a [/ matemáticas] son ​​ambas potencias de 2. Sea,

[matemáticas] n – a = 2 ^ b, [/ matemáticas]
[matemáticas] n + a = 2 ^ c. [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 2n = 2 ^ b + 2 ^ c [/ matemáticas] y [matemáticas] 2a = 2 ^ c – 2 ^ b [/ matemáticas]. La segunda de estas ecuaciones es inmediatamente interesante:

[matemáticas] 2 \ cdot 3 ^ k = 2 ^ c – 2 ^ b = 2 ^ b (2 ^ {cb} – 1), [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] 3 ^ k = 2 ^ {b-1} (2 ^ {cb} – 1). [/ matemáticas]

Como [math] 3 ^ k [/ math] es impar, tanto [math] 2 ^ {b-1} [/ math] como [math] 2 ^ {cb} – 1 [/ math] deben ser impares. Esto implica que [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] a = 3 ^ k = 2 ^ {c-1} – 1. [/ matemáticas]

Ya hemos notado que las potencias de 3 son 1 o 3 módulo 8. Sin embargo, si [math] c> 3 [/ math], entonces
[matemáticas] 2 ^ {c-1} \ equiv 2 ^ 3 \ cdot 2 ^ {c-4} \ equiv 0 \ cdot 2 ^ {c-4} \ equiv 0 \ pmod {8}. [/ math]

En estos casos,

[matemáticas] a = 2 ^ {c-1} – 1 \ equiv -1 \ equiv 7 \ pmod {8} [/ matemáticas],

una imposibilidad! Como [math] c> b = 1 [/ math], esto deja solo [math] c = 2 [/ math] y [math] c = 3 [/ math] como posibilidades. Ya sea

[matemáticas] a = 3 ^ k = 2 ^ {2-1} – 1 = 1, [/ matemáticas]
en cuyo caso [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas], o
[matemáticas] a = 3 ^ k = 2 ^ {3-1} – 1 = 3, [/ matemáticas]
en cuyo caso [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas].

Como [math] y = 2k> 0 [/ math], descartamos el primer caso. Por lo tanto, [matemáticas] y = 2k = 2 (1) = 2 [/ matemáticas].

Nuestra ecuación ahora se ve así

[matemáticas] 2 ^ x = (n – 3) (n + 3), [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] n – 3 = 2 ^ b = 2 ^ 1 = 2, [/ matemáticas]
[matemáticas] n + 3 = 2 ^ c = 2 ^ 3 = 8. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 2 ^ x = 2 \ cdot 8 = 2 ^ 4 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la única solución a la ecuación original es [matemática] (x, y) = (4,2) [/ matemática].

Answer 2

Creo que Gyanendra tiene razón. Deje x> 3. Entonces, si y es par, 3 ^ y congruente con 1 mod 8, y si y es impar, 3 ^ y congruente con 3 mod 8. Pero RHS es congruente con 1 mod 8 ya que m debe ser impar. Así que debes ser par. Ley y = 2k. Ahora, m ^ 2 – 3 ^ (2k) es una potencia de 2. Esto significa que (m + 3 ^ k) y (m-3 ^ k) es una potencia de 2. Si m-3 ^ k es una potencia mayor que 2, digamos g, entonces 2 ^ g divide 2 * 3 ^ k, no es posible.
Esto significa que m-3 ^ k es igual a 1 o 2.
m es extraño, lo que significa que m-3 ^ k debe ser igual a 2. Al cuadrado, obtenemos que 3 ^ k + 1 debe ser una potencia de 2. Pero 3 ^ k es congruente con 1 o 3 mod 8, y entonces 3 ^ k +1 debe ser congruente con 2 o 4 mod 8, lo que significa que no puede ser una potencia de 2 (a menos que sea igual a 2 o 4).
Por lo tanto, solo puede haber soluciones “pequeñas” a la ecuación, es decir, k = 1, lo que significa que y es igual a 2, o k = 0 o x <3. Esto debería ser suficiente para resolver el problema.

Me doy cuenta de que no he sido muy claro en mi prueba, pero espero que esto dé suficiente dirección para resolver el problema.

Answer 3

triplete pitagórico (3,4,5), ()

4² + 3² = 5² → 2 ^ 4 + 3² = 5² → (x, y) = (4,2)

Answer 4

2 ^ x + 3 ^ y = 0 o 1 mod3 si 2 ^ x + 3 ^ y es un cuadrado.

desde y> 0 tenemos 2 ^ x + 3 ^ y = 2 ^ x mod 3 = 1 mod 3

esto es si y solo si x es par 2 ^ (2j) mod3 = (2 ^ 2) ^ j mod 3 = 1 mod 3

y 2 ^ (2j + 1) mod3 = 2 * (2 ^ (2j)) mod3 = 2mod3.

Por lo tanto

2 ^ (2j) + 3 ^ y = u ^ 2

3 ^ y = (u + 2 ^ j) (u – 2 ^ j)

Por lo tanto (u + 2 ^ j) y (u – 2 ^ j) son divisores de 3 ^ y

Por lo tanto (u + 2 ^ j) = 3 ^ a, (u – 2 ^ j) = 3 ^ b

igualando u en ambas ecuaciones tenemos 3 ^ a – 2 ^ j = 3 ^ b + 2 ^ j

O 2 ^ (j + 1) = 3 ^ a – 3 ^ b

El lado derecho de la ecuación no puede ser múltiplo de 3 y dado que LHS es positivo, RHS es positivo, entonces a> b. Considerando estos hechos, b es 0 como si b> = 1, entonces RHS es un múltiplo de 3. Por lo tanto, 2 ^ (j + 1) = 3 ^ a – 1. Está claro que a es una potencia de 2 como si 3 ^ a – 1 = 0 mod (2 ^ (j + 1)). Entonces a divide el número de coprimos a 2 ^ (j + 1) menor que 2 ^ (j + 1) y mayor o igual que 1. Nota 3 ^ (2 ^ k) – 1 = (3 ^ (2 ^ ( k-1)) – 1) (3 ^ (2 ^ (k-1)) + 1) así

k <= 1 como (3 ^ (2 ^ (k-1)) - 1) no es una potencia de 2 para k> = 2 (en realidad es 2mod 4 y mayor que 2) con k = 1 uno tiene solución x = 4 e y = 2 como señaló Guillaume Metzler. k = 0 no cumple con los requisitos.