Suponga que [math] \ sqrt {n} [/ math] es irracional y tome [math] r – \ sqrt {n} = \ sqrt {n + 2013} [/ math]. Pero entonces [matemáticas] r ^ 2 + n – 2r \ sqrt {n} = n + 2013 [/ matemáticas], una contradicción (el lado izquierdo es irracional; el lado derecho no lo es). Entonces, tanto [math] \ sqrt {n}, \ sqrt {n + 2013} [/ math] son racionales.
La respuesta corta es que hay infinitas [matemáticas] n [/ matemáticas]: si dejas [matemáticas] n = \ frac {1} {q ^ 2} [/ matemáticas], entonces estás buscando soluciones para [ matemáticas] 2013q ^ 2 + 1 = s ^ 2 [/ matemáticas], o la conocida ecuación de Pell [matemáticas] s ^ 2 – 2013q ^ 2 = 1 [/ matemáticas], que tiene una familia de infinitas soluciones (solo revisa el enlace).
Si desea saber cuántas familias de soluciones hay, desea una solución para la ecuación más general [matemática] s ^ 2 – 2013q ^ 2 = p ^ 2 [/ matemática], o, sospecho más útil, [matemática ] s ^ 2 – p ^ 2 = (s + p) (s – p) = 2013q ^ 2 [/ math]. No veo de inmediato ninguna buena forma de atacar esto … tomarlo mod 3 rápidamente te dice que [math] s, p [/ math] no son divisibles por 3, aunque su suma o diferencia lo es. (El lado derecho es divisible por 3, por lo que el izquierdo también debe serlo, por lo que [math] s ^ 2 [/ math] y [math] p ^ 2 [/ math] son ambos 0 o 1 mod 3. Si ambos fueron 0, entonces el lado izquierdo sería divisible por 9, pero el lado derecho solo tiene un factor explícito de 3, por lo que [math] q [/ math] también debe ser divisible por 3, pero nuestro sistema no se redujo a comience para poder descartar este caso. Esto también funciona para 11, 61 ya que estos son los otros factores primos de 2013.) Mod 4 le da que exactamente uno de [math] p, q, s [/ math] es par (así que no es de mucha ayuda) Sin embargo, no veo por qué no habría infinitas familias.
Editar: de hecho, no es difícil construir nuevas soluciones a esta ecuación, que podemos mostrar simplemente considerando [math] q [/ math] impar. Deje que [math] d [/ math] sea cualquier factor primo del RHS (he usado todas las letras que me gusta usar para primos 🙁) que no sean 3, 11, 61. If [math] d [/ math] divide ambos términos a la izquierda (en la versión factorizada), luego divide su diferencia, [math] 2p [/ math]; pero luego [matemática] d [/ matemática] divide [matemática] p [/ matemática] (recuerde que [matemática] d [/ matemática] es impar) y entonces [matemática] \ dfrac {p} {q} [/ matemática] no fue reducido; por lo tanto, cada factor primo impar (aparte de nuestras tres excepciones) del lado derecho se encuentra exactamente en uno de los términos de la izquierda. Para cada [matemática] d [/ matemática] de 3, 11, 61: si no divide [matemática] q [/ matemática], simplemente podemos arrojar el factor uno de [matemática] d [/ matemática] término a la izquierda. Si lo hace, el mismo argumento que antes nos dice, nuevamente, que todos los factores de [math] d [/ math] están exactamente en uno de los términos a la izquierda. Por lo tanto, podemos reescribir el lado izquierdo como [math] 3 * 11 * 61 * a ^ 2 b ^ 2 = 2013 a ^ 2 b ^ 2 [/ math], entonces [math] ab = q [/ math]. (El caso para [math] q [/ math] incluso es muy parecido, excepto que necesita tomarse un tiempo para tratar los factores de 2.)
- ¿Qué sucederá si alguien prueba (o refuta) que hay primos gemelos infinitos?
- Prasanjit tomó un no de 5 dígitos. en notación de base 7. Luego resta la suma de los dígitos del no. del no. Por el resultado, tachó uno de los dígitos. Los dígitos restantes fueron 1,2,0 y 2. ¿Entonces el dígito marcado por Prasanjit fue?
- ¿Por qué no hay un valor definido para 1/3? ¿Nuestro sistema de numeración es defectuoso? ¿Por qué nuestro sistema de números no permite tal división? ¿Hay un sistema mejor que desconozcamos?
- ¿Son todos los números perfectos triangulares?
- ¿Es 10.7 un número par?
Por ejemplo, sea [matemática] q = 35 = 5 * 7 [/ matemática]. Como 3, 11 y 61 no dividen [matemática] q [/ matemática], sabemos que [matemática] (s + p) (sp) [/ matemática] es realmente solo [matemática] (6 + 1) ^ 2 (6-1) ^ 2 = (49) (25) [/ matemáticas] con el factor de 2013 incluido en algún lugar; por diversión pongamos el 3 y el 11 en el primer factor y 61 en el segundo. Esto nos da [matemáticas] (1617) (1525) = (1571 + 46) (1571 – 46) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 1571 ^ 2 – 46 ^ 2 = 2013 (35 ^ 2) [/ matemáticas] , y [matemáticas] n = \ dfrac {46 ^ 2} {35 ^ 2} [/ matemáticas]. Puede construir la mayor cantidad de soluciones que desee a lo largo de estas líneas simplemente seleccionando un número entero impar para [math] q [/ math] y dividiéndolo en dos factores (incluido 1 y él mismo).