Es un teorema de Euler que para un número representado como [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática], si [matemática] mcd (a, b) = 1 [/ matemática], entonces todos los divisores de [matemática] ] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] tienen la forma [math] p ^ 2 + q ^ 2 [/ math].
Sea [matemáticas] N = 5 ^ 8 + 2 ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] N [/ math] también se puede expresar como [math] 625 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ math] y [math] mcd (625,2) = 1 [/ math], conocemos todos los divisores de [matemática] N [/ matemática] debe tener la forma [matemática] p ^ 2 + q ^ 2 [/ matemática]. Además, [math] \ sqrt {N} [/ math] es sobre [math] 625 [/ math], y desde [math] \ sqrt {625} = 25 [/ math], comenzamos configurando [math] p = 24 [/ matemática] y [matemática] q = 1 [/ matemática] (porque [matemática] N [/ matemática] debe tener un divisor menor que su raíz cuadrada, suponiendo que sea compuesta). Nos estamos preparando para probar a la baja, [matemáticas] p = 23, 22, 21, … [/ matemáticas]. Finalmente, [matemática] p ^ 2 + q ^ 2 = 24 ^ 2 + 1 ^ 2 = 577 [/ matemática] que resulta dividir equitativamente [matemática] N [/ matemática], con el resultado es [matemática] 677 [/ matemáticas], que es primo. Como un número natural solo puede tener como máximo un divisor primo por encima de su raíz cuadrada, [math] 677 [/ math] debe ser el divisor primo más grande de [math] N [/ math].
Incluso si [matemáticas] p = 24 [/ matemáticas] no funcionó, todavía tendríamos un pequeño número de casos para evaluar.
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