¿Cuál es el resto cuando la suma infinita [matemáticas] (1!) ^ 2 + (2!) ^ 2+ (3!) ^ 2 + \ cdots [/ matemáticas] se divide por 1152?

Answer 1

Como señala Anders Kaseorg, esta pregunta está mal formulada y ninguna de las opciones es correcta si se interpreta en el sentido más habitual.

Como señala Moshin Ahmed, la respuesta prevista “debería” ser 41, ya que eventualmente los términos son divisibles por 1152.

La forma de hacer riguroso el argumento de Moshin es tomar el límite en el módulo entero 1152. Precisamente, hay una función de residuo

[math] \ rho: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _ {1152} [/ math],

donde [math] \ mathbb {Z} _ {1152} [/ math] denota el conjunto (grupo si lo prefiere) de enteros módulo 1152. Esta función toma un entero [math] n [/ math] y devuelve el resto cuando [ matemáticas] n [/ matemáticas] se divide por 1152.

Deje [math] S_n [/ math] denotar la suma parcial

[matemáticas] S_n = \ sum_ {i = 1} ^ n (i!) ^ 2. [/ matemáticas]

Anders señala que el límite [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S_n [/ matemáticas], que define la suma infinita, no existe. Así la expresión

[matemáticas] \ rho (\ lim_ {n \ to \ infty} S_n) [/ matemáticas]

(que parece estar pidiendo la declaración del problema) no tiene sentido.

Por otro lado, podemos considerar la expresión

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ rho (S_n) [/ matemáticas],

lo que significa que reducimos las sumas parciales módulo 1152 y luego tomamos el límite de los residuos. Y la secuencia [math] \ rho (S_n) [/ math] es solo la secuencia

[matemáticas] \ overline {1}, \ overline {5}, \ overline {41}, \ overline {617}, \ overline {41}, \ overline {41}, \ overline {41}, \ ldots [/ math ],

entonces su límite es

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ rho (S_n) = 41. [/ matemáticas]

Answer 2

Esto no es realmente una pregunta válida, ya que [math] \ textstyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (n!) ^ 2 [/ math] no converge. Si decidimos ser Euler durante unos minutos y pretendemos sumarlo de todos modos, el “resultado” que obtenemos ni siquiera es un número entero:

[matemáticas] \ begin {align *} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (n!) ^ 2 & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_0 ^ \ infty e ^ {- x } x ^ n \, dx \ right) ^ 2 \\
& = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x – y} (xy) ^ n \, dy \, dx \\
& \ mathrel {\ text {“=”}} \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x – y} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (xy) ^ n \, dy \, dx \\
& \ mathrel {\ text {“=”}} \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x – y} \ frac {1} {1 – xy} \, dy \, dx \\
& \ mathrel {\ text {“=”}} \ int_0 ^ \ infty \ left .- \ frac {e ^ {- \ frac1x – x} \ mathrm {Ei} {\ left (\ frac1x – y \ right)} } {x} \ right | _ {y = 0} ^ \ infty \, dx \\
& = \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ frac1x – x} \ mathrm {Ei} {\ left (\ frac1x \ right)}} {x} \, dx \\
& = – \ pi G ^ {3,1} _ {2,4} {\ left (1 \ left | \; \ begin {matrix} 0, \ frac12 \\ 0, 0, 0, \ frac12 \ end { matriz} \ right. \ right)} \ aprox 0.851316, \ end {align *} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (n!) ^ 2 & = -1 + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (n!) ^ 2 \\
& \ mathrel {\ text {“≈”}} -0.148684, \ end {align *} [/ math]

donde [math] \ mathrm {Ei} (x) [/ math] es la integral exponencial y [math] G ^ {m, n} _ {p, q} {\ left (z \ left | \ begin {smallmatrix} a_1, \ ldots, a_p \\ b_1, \ ldots, b_p \ end {smallmatrix} \ right. \ right)} [/ math] es la función G de Meijer.

Estoy … bastante seguro de que eso significa que las cuatro opciones están mal. Si desea que la respuesta sea 41, debe hacer una pregunta diferente, una pregunta sobre una suma finita en lugar de una suma infinita divergente.

Answer 3

41

Tenemos que averiguar el resto cuando (1!) ² + (2!) ² + (3!) ² + ··· se divide por 1152
1152 = 2 ^ 7 * 3 ^ 2
=> (6!) ^ 2 es divisible por 1152
=> Todos (n!) ^ 2 son divisibles por 1152 siempre que n> 5
Entonces, nuestro problema ahora se reduce a
Rem [(((1!) ² + (2!) ² + (3!) ² + (4!) ² + (5!) ²) / 1152]
= Rem [(1 + 4 + 36 +576 + 14400) / 1152]
= Rem [15017/1152]
= 41

He respondido un montón de preguntas muy similares sobre los residuos. Puede obtener la lista completa aquí: Teorema restante y conceptos relacionados para la preparación de CAT por Ravi Handa en Preparación de CAT

Answer 4

Anders Kaseorg escribe correctamente que, como una suma infinita, esta pregunta no tiene sentido.

Si tuvieras en mente

[matemáticas] (1!) ^ 2 + (2!) ^ 2 + (3!) ^ 2 +… + (n!) ^ 2 [/ matemáticas]

Donde n es un número muy grande, pero no obstante un número finito conocido, así es como puede obtener la respuesta.

Considere que [matemáticas] 1152 = 2 ^ 73 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1!) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (2!) ^ 2 = (2) ^ 2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (3!) ^ 2 = (2 * 3) ^ 2 = 2 ^ 23 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (4!) ^ 2 = (2 * 3 * 4) ^ 2 = 2 ^ 63 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (5!) ^ 2 = (2 * 3 * 4 * 5) ^ 2 = 2 ^ 63 ^ 25 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (6!) ^ 2 = (2 * 3 * 4 * 5 * 6) ^ 2 = 2 ^ 83 ^ 45 ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces vemos que [matemáticas] 1152 = 2 ^ 73 ^ 2 [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] (6!) ^ 2 [/ matemáticas]. Además,

[matemáticas] (7!) ^ 2 = 7 ^ 2 (6!) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (8!) ^ 2 = 7 ^ 28 ^ 2 (6!) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] … [/ matemáticas]
[matemáticas] (n!) ^ 2 = \ frac {(n!) ^ 2} {(6!) ^ 2} (6!) ^ 2 [/ matemáticas]

Así, todos los términos más allá del quinto dan el resto cero cuando se dividen. Aquí puede optar por adoptar el enfoque de Indranil Biswas y observar que todos los términos, excepto el primero, son pares, junto con nuestro divisor. Por lo tanto, el resto debe ser un número impar. Con las opciones dadas, la única opción adecuada es (A) 41.

El resto también se puede evaluar si esta había sido una pregunta subjetiva en lugar de una MCQ, o si más de una opción eran números impares:

[matemáticas] (1!) ^ 2 + (2!) ^ 2 + (3!) ^ 2 + (4!) ^ 2 + (5!) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1) ^ 2 + (2) ^ 2 + (6) ^ 2 + (24) ^ 2 + (120) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 4 + 36 + 576 + 14400 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 15017 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1152 * 13 + 41 [/ matemáticas]

Esto nos da la respuesta que probablemente estabas buscando.

Answer 5

Aunque la pregunta carece de rigor, solo para responder al “intento”: el resto tiene que ser un número impar ya que la suma comienza con (1!) ^ 2. Eso nos deja con 41 como respuesta.

Answer 6

4! = 2³3, entonces 4! ² = 1152/2.

4! ² + 5! ² = (1 + 25) 4! ² = 13 * 1152.

Esto deja solo 1! ² + 2! ² + 3! ² = 41.

Answer 7

(B) es el resto. Todos los términos de (6!) ^ 2 en adelante son divisibles por 1152. Los otros tienen un total de 15017 que tiene un resto de 41 cuando se divide por 1152.

Answer 8

Me encanta el enfoque lento 🙂