Prasanjit tomó un no de 5 dígitos. en notación de base 7. Luego resta la suma de los dígitos del no. del no. Por el resultado, tachó uno de los dígitos. Los dígitos restantes fueron 1,2,0 y 2. ¿Entonces el dígito marcado por Prasanjit fue?

Es 1.

Explicación: ( Explicación intuitiva, ver Edición 1 para detalles matemáticos)
El número está en notación de base 7. La adición de 7 al número aumenta el lugar 7 en 1. Hacer que la suma de los dígitos del número original sea igual a 7 y después de eso, reducirlo del número dará como resultado una disminución de 1 en el lugar 7 y la suma del el nuevo número formado será 6. Por lo tanto, hacer que la suma sea 6 en el nuevo número con dígitos 1,2,0,2 requerirá un 1.
Tome cualquier permutación de los dígitos 1,2,0,2,1 y agregue 1 al lugar 7 en la permutación le dará un número de base 7 de 5 dígitos. [Siempre que no comience con 0]

Entonces, el número de permutaciones será [matemáticas] \ dfrac {5!} {2! * 2!} – \ dfrac {4!} {2! * 2!} = 24 [/ matemáticas].
Por ejemplo, 12201–> 12211, 12012–> 12022 así.
Entonces el dígito marcado por Prasanjit es ” 1 “.

Ahora puede surgir la pregunta, ¿por qué otros dígitos no son posibles?
Dejado como ejercicio para que lo descubras.

[Editar 1] Como lo indicó Kartik Kale en el comentario. Dado un número abcde en el sistema de numeración base 7. Tenemos [abcde – (a + b + c + d + e)] mod 6 = 0. Entonces, el nuevo número que se formó supone que “fghij” será
fghij mod 6 = (f + g + h + i + j) mod 6 = 0. Entonces f + g + h + i + j será divisible por 6.
Luego, para los números dados 1, 2, 0 y 2 podemos obtener solo 1 como solución. [Otros dígitos cuando se agregan no dan un número divisible por 6]