¿Por qué no hay un valor definido para 1/3? ¿Nuestro sistema de numeración es defectuoso? ¿Por qué nuestro sistema de números no permite tal división? ¿Hay un sistema mejor que desconozcamos?

Answer 1

No hay nada indefinido sobre [matemáticas] 1/3 [/ matemáticas]. No es menos real que [matemática] 1/2 [/ matemática], no es más difusa, no se mueve y no es menos precisa. No hay problema con el sistema numérico.

Hay un problema con un enfoque matemático que enfatiza los dígitos y las representaciones sobre los números. Me temo que eso es lo que les parece a muchos estudiantes mientras enseñamos algoritmos para aritmética basados ​​en las representaciones, pero los números son lo fundamental, no nuestros nombres para los números ([matemáticas] 1/2 [/ matemáticas] vs [ matemática] 0.5 [/ matemática] vs [matemática] 0.4 \ overline {9} [/ matemática]). Del mismo modo, si su madre cambia su nombre, tal vez por algo que es más difícil de escribir, esto no cambia si ella es su madre.

Hay otro problema. Usamos muchas computadoras, que usan la base 2. En algunas calculadoras antiguas, si divide 1 por 3 y luego multiplica por 3, no obtiene 1. Obtiene [matemáticas] 0.99999999 [/ matemáticas] (con exactamente 8 9s). Algo similar sucede en la aritmética de coma flotante si divide 1 por 3, y luego multiplica por 3, o si divide 1 por 10, y luego multiplica por 10. (En la base 2, [matemática] 1/10 [/ matemática] se convierte en [matemática] 0.0 \ overline {0011} [/ matemática].) Debido a que la aritmética de coma flotante usa solo precisión finita, pierde cierta información. Sin embargo, esto no es una señal de que [matemática] 1/2 [/ matemática] o [matemática] 1/64 [/ matemática] sea más definida que [matemática] 1/3 [/ matemática]. Se supone que los números de punto flotante solo tienen una cantidad finita de precisión. Cuando divide por un número de coma flotante y luego multiplica por el mismo número después, no debe esperar ganar precisión. En cierto sentido, es engañoso que recuperes el mismo número si divides y multiplicas por una potencia de 2, ya que el resultado debería tener un poco menos de precisión que antes. En un entorno de matemática aplicada, 0.5 podría representar varias cosas, como un número de [matemáticas] 0.45 [/ matemáticas] a [matemáticas] 0.55 [/ matemáticas], o tal vez un número de [matemáticas] 1/2 – 1/2 ^ {24} [/ matemática] a [matemática] 1/2 + 1/2 ^ {24} [/ matemática]. Cuando multiplica ese rango por 2.0, no obtiene solo 1, obtiene un rango de números alrededor de 1. Lo mismo sucede si divide por 3.0 y multiplica por 3.0, o divide por 10.0 y multiplica por 10.0. Es más difícil pretender incorrectamente que obtienes exactamente 1 con precisión infinita.

Answer 2

Douglas Zare ya ha respondido de manera detallada, me gustaría poner en palabras simples:

La razón por la que ha preguntado por qué 1/3 no tiene un valor definido es probablemente porque su representación en el sistema decimal es 0.33333 …
Eso es solo una representación del valor 1/3 en la base 10, es nuestra base predeterminada ya que tenemos 10 dígitos en nuestras manos, pero no es necesario representar números solo en la base 10.
Por ejemplo: el valor de 1/3 en la base 6 es 0.2, que podría llamarse definitivo.

Entonces, el problema es con la representación en la base que estás usando, no con el valor de 1/3

Answer 3

Tomemos sus preguntas una a la vez

¿Por qué no hay un valor definido para 1/3?

Hay uno. De hecho, más de uno. 1/3 es uno. 0.333 … es también uno.

Si los números son representación de objetos del mundo real

Los números no son representaciones de objetos del mundo real. Los números son cosas que creamos.

¿Por qué nuestro sistema de números no permite tal división?

Lo hace. Los dividiste en tu pregunta

¿Y hay un sistema mejor que desconocemos?

Bueno, por definición, si no nos damos cuenta, ¡no lo sabemos! Pero si quiere decir que hay sistemas donde hay menos fracciones que se continúan, sí, las hay. Compare la base 10 con la base 12: más fracciones terminan en la última.

Answer 4

Elegimos el sistema decimal, es decir. base 10, porque tenemos diez dedos. Por supuesto, es lamentable que 3 no divida a 10.

Si hubiéramos usado un sistema base 12 no habríamos tenido este problema. Sin embargo, entonces sería difícil dividir entre 5, por ejemplo. Pero en realidad es solo una elección.

Answer 5

Veamos si puedo lograr no hacerme una tontería aquí. Tuve un pensamiento muy parecido en cuarto grado cuando me enfrenté a fracciones.

Varias personas han señalado que la “definición” de una fracción (cuántos decimales son necesarios para representarla) es una función de la relación entre la fracción y la base del sistema numérico en el que se utiliza la fracción. Vale la pena señalar que una fracción es una proporción , no solo un número.

A medida que toma cursos de matemáticas en la universidad, comienza a darse cuenta de que hay una diferencia entre un número en sí (un dígito), un número aplicado a algo (una representación) y para qué se puede usar un número (casi cualquier cosa que se pueda escalar) ) Esto es típicamente donde me quedo estancado en problemas matemáticos, tratando de decidir si debería tratar el número como una representación, o con su complemento de otras propiedades.

Para decirlo de otra manera, a veces me quedo atascado preguntándome si debería tratar a 1/3 como un número, una proporción o una representación (es decir, una porción de pi). Por lo general, esto se indica por el tipo de problema, pero todavía estoy aprendiendo a leer el tipo de tratamiento requerido.

Tuve una gran discusión con mi maestra de matemáticas en cuarto grado sobre esto, ya que las fracciones implican un número infinito de números entre números enteros, quería saber qué demonios quería que hiciera con los problemas de álgebra. De hecho, me negué a hacer la tarea por un tiempo porque estaba de mal humor por eso. ¿La respuesta es realmente cinco o tres cuando podría ser 4.999999 y 3.0000001? Dado que la precisión es importante para las matemáticas, ¿qué debo responder?

Tengo que creer que vale la pena hacer este tipo de preguntas: las matemáticas también son creativas y, si se supone que son creativas, debemos entender las herramientas.

Answer 6

La conclusión es que la representación decimal no es lo mismo que el “valor definido”. La representación decimal es una representación. Los números se definen sin referencia a esta representación. Ver Construcción de los números reales.

Answer 7

Hay un valor definido para 1/3: eso es 0:40. Sin embargo, todos los racionales tienen una expansión en varoius como fracciones continuas, fracciones agregadas y bases factoriales.

Por ejemplo, 17/120 podría escribirse en el estilo de fracciones agregadas como [matemáticas] \ frac 1 {12} \ frac 7 {10} [/ matemáticas], o en el factorial como [matemáticas] \ frac 02 \ frac 03 \ frac 34 \ frac 25 [/ matemáticas]. Puede escribirlo como la fracción continua [matemáticas] Cf (0; 7,17) [/ matemáticas].

Hay bases donde todos los racionales tienen períodos, como 1.5 + sqrt (0.25), donde 1/3 es 0.0ff0 recurando, donde f = 1.61803398875 & c.

Answer 8

Si uno usa cualquier base que sea múltiplo de 3 (por ejemplo, base 6, 9, 12, etc.), 1/3 puede representarse como “precisamente” como 1/2 en la base 10.

Por ejemplo, 1/3 se representará concisamente como 0.2 en la base 6, 0.3 en la base 9 y 0.4 en la base 12.

Answer 9

Algo más que no he visto mencionado aquí. Los números se escriben comúnmente hasta el punto en que la aniquilación comienza a repetirse infinitamente.
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Es por eso que 1/3 es 0.3333 … o más precisamente, 0.3
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Del mismo modo, 1/2 es precisamente 0.50

Answer 10

Un tercio es solo un decimal interminable cuando se representa en base-10. En una base diferente podría expresarse exactamente.

Answer 11

No sé por qué nadie lo ha mencionado todavía. La representación precisa de 1/3 es 0, (3) = 0 + 3/9. Los signos repetitivos se ponen entre paréntesis.
Un ejemplo más: 1/14 = 0,0 (714285) = 0 + 0/10 + 714285/9999990.
Todos los números racionales se pueden representar de esta manera.

Answer 12

Pocas preguntas más:

Todo parece relativo ahora. Solía ​​pensar que los números son absolutos.

Entonces, si tengo una regla y la divido por 12 en un lado y por 10 en el otro (representando el decimal y la base12), ¿la lectura 4 en el lado 12 me dará el valor finito de 10/3 en decimal? ¿Podemos dibujar representaciones paralelas de diferentes bases para encontrar el valor definido de pi en decimal?

¿A qué se refieren / señalan estas diferentes representaciones? ¿O es correcto pensar que habría algo absoluto?

Answer 13

La falta de una representación de lugar decimal finito para ⅓ es solo una reafirmación del hecho de que el número primo 3 es coprimo a los primos 2 y 5, que a su vez es la definición de lo que significa ser un número primo.

Supongamos que ⅓ = a / 10 ^ n. Entonces 3a = 10 ^ n que es imposible porque 10 ^ n mod 3 = (10 mod 3) ^ n = 1 ^ n = 1.

Lo que desea es un sistema de lugar donde los primos más pequeños dividan la base, es decir, un número altamente compuesto. Los babilonios usaron 60 entre otros, que todavía usamos para la geografía hora: minuto: segundo tiempo y grado ° minuto ‘segundo “.

60 = 2 * 3 2 * 5 = 2 ^ 2 3 5, dejando de lado 7, 11, etc.

El número de horas en un día, 24, es 2 ^ 3 3.

Answer 14

En realidad, las viejas libras se dividían en chelines, por lo que 1/3 estaba formando un número redondo: 4 chelines. 1/3 es siempre un tercio de algo. SI la cosa puede ser dividida por 3 …

Answer 15

¿Qué le pasa a 1/3? Son 3 golpes clave.