¿Hay un nombre (o prueba) para esta conjetura: para todos los números naturales N, 1 menos que cualquier potencia de N es un múltiplo de N-1?

Answer 1

Sale bastante inmediatamente cuando miras el resto de N ^ k dividido por N – 1.

[matemáticas] N ^ k \ equiv 1 ^ k \ equiv 1 \ textrm {(mod} \ N-1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] N ^ k – 1 [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] N – 1 [/ matemática]. Usando un argumento similar, puede mostrar que [matemáticas] N ^ k – 1 [/ matemáticas] también es un múltiplo de [matemáticas] N + 1 [/ matemáticas] cuando k es par.

Si no está familiarizado con la aritmética modular, es posible que necesite convencerse de que para los enteros positivos x, y y z (realmente solo z necesita ser positivo) se mantienen las siguientes identidades

[matemáticas] ((x \ bmod z) + (y \ bmod z)) \ bmod z = (x + y) \ bmod z [/ matemáticas]
[matemáticas] ((x \ bmod z) (y \ bmod z)) \ bmod z = (xy) \ bmod z [/ matemáticas]

Donde [math] a \ bmod b [/ math] da el resto entre 0 y [math] b – 1 [/ math] cuando divide [math] a [/ math] entre [math] b [/ math].

Answer 2

Es bastante sencillo. Debe probar [matemáticas] N-1 [/ matemáticas] divide [matemáticas] N ^ k-1 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] N, k [/ matemáticas].
Simplemente factorizar [matemáticas] N ^ k-1 [/ matemáticas].

[matemáticas] N ^ k-1 = (N-1) (N ^ {k-1} + N ^ {k-2} + \ cdots + 1) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] N ^ k-1 [/ math] es un múltiplo de [math] N-1 [/ math].

Answer 3

El artículo de Wikipedia sobre polinomios de factorización (Factorización) ofrece una fórmula general para a ^ n – b ^ n = (a – b) veces algún polinomio en ay b. Sustituir b = 1 le da su declaración original