Si n es un entero> 1, ¿cuál de los siguientes es verdadero? a. ¡norte! Puede ser un cuadrado perfecto. si. n! +1 puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 1

Respuesta: n! + 1 puede ser un cuadrado perfecto mientras que n! nunca puede ser un cuadrado perfecto (excepto el caso trivial de 1)

Prueba: supongamos n! para ser un cuadrado perfecto Esto implica que la multiplicidad de cada primo que divide n! incluso. ¡Sea p el primer divisor más grande n! .

Sabemos que la multiplicidad de p es par y, por lo tanto, al menos 2p (el siguiente múltiplo de p ) debe dividir n !. Por lo tanto, obtenemos
[matemáticas] 2p \ leq n [/ matemáticas]

Pero por el Postulado de Bertrand, sabemos que existe un primo entre k y 2k para todos los k> 3 . Entonces, existe una prima q entre p y 2p . Este primo q necesariamente divide n! como

[matemáticas] q <2p \ leq n [/ matemáticas]

Como p <q , p ya no es el primer divisor más grande n! . Tenemos una contradicción

QED

Answer 2

si. 25 = 24 + 1 = 4! +1, entonces b es verdadero
A. no es cierto, ya que hay un primo entre p y 2p, por lo que es bastante fácil ver que en casos grandes, tendrá al menos un primo no emparejado con nada (un primo mayor que el piso n / 2 sería suficiente por razones obvias )