¿Cómo es [matemáticas] 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots = – \ tfrac12 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es similar a cómo [math] \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1 [/ math]. La definición más común de la función [math] \ sin (x) [/ math] es “dentro de un triángulo rectángulo, la relación entre el lado opuesto al ángulo de tamaño [math] x [/ math] y la hipotenusa”. Técnicamente, esta definición solo tiene sentido para los números> 0 y <[math] \ frac {\ pi} {2} [/ math]. Sin embargo, es muy natural ampliar esta definición de modo que [math] \ sin (0) = 0 [/ math] y [math] \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1 [/ math].

Ahora técnicamente, hay muchas maneras diferentes en que podemos extender las funciones. ¿Por qué no decir [matemáticas] \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 42 [/ matemáticas]? Resulta que hay un método muy bueno para extender muchas de nuestras funciones favoritas que se conoce como continuación analítica. Por ejemplo, la continuación analítica se puede usar para extender [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] a los números complejos. Jugando un poco, incluso podemos llegar a una extensión natural de la función factorial a números reales no enteros [0].

Entonces, ¿cómo obtenemos 1 + 1 + 1 + … = -1 / 2? Al extender la función Zeta de Riemann [matemática] \ zeta (s) = \ sum_0 ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} [/ matemática]. Esta función está bien definida cuando la parte real de [math] s [/ math] es mayor que 1, y a través de la continuación analítica podemos extenderla para que se defina en todas partes en el plano complejo. Tenga en cuenta que cuando [math] s = 0 [/ math], obtenemos la suma infinita 1 + 1 + 1 …

Resulta que la continuación analítica de la función Zeta de Riemann, evaluada en 0, es igual a -1/2. De ahí proviene la afirmación “1 + 1 + 1 +…. = – 1/2”.

[0]: función Gamma

Answer 2

HECHO

En Matemáticas, la respuesta de 1 + 1 + 1 + 1 +…. es + infinito
Por lo tanto, la serie no tiene una suma en el sentido habitual.

Pero en muchas aplicaciones en Física, donde se requiere la suma de esta serie, -1/2 es la respuesta más natural.

POR QUÉ

Tomemos un ejemplo más simple de entender, tomemos la serie
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…
= (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +…
= 0 + 0 + 0 +…
= 0.

Pero, ¿qué pasa si pongo el paréntesis de una manera diferente?
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +…
= 1 + 0 + 0 + 0 +…
= 1

¡Vaya !, ahora tenemos 0 y 1 como respuestas.

Ahora es el momento para el método de libro de texto de secundaria
S = 1 – 1 + 1 – 1 +…, entonces
1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 +…)
= 1 – 1 + 1 – 1 +…
1 – S = S ,
1 = S + S = 2S
S = 1/2

Entonces la conclusión es ^
(a) la serie 1-1 + 1-1 + … no tiene suma.
(b) pero su suma debe ser 1/2.

Lo mismo se aplica a nuestra ecuación en cuestión en la mano. Nos quedan 2 opciones (a) Su suma no está definida (es decir, + infinito)
(b) Su suma es -1/2

CÓMO

Por entender esto
“es necesario darle a la palabra ‘suma’ un significado más extenso” Leonhard Euler

Se realiza por generalización utilizando métodos de suma.

Incluso Ramanujan admitió que no puede explicar el concepto completo en un solo documento de la carta que envió a GHHardy.
La carta de Ramanujan ^^

“… la suma de un número infinito de términos de la serie: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 según mi teoría. Si te digo esto, me señalarás de inmediato al manicomio “Me dilato sobre esto simplemente para convencerlo de que no podrá seguir mis métodos de prueba si le indico las líneas en las que procedo en una sola letra”

Enlaces:
^ Resumen de la serie de Grandi
^^ Ramanujan

Answer 3

Hay muchas nociones de lo que significa la suma de una serie infinita. La noción para series convergentes es la más simple, pero en general no es lo suficientemente fuerte como para todo lo que queremos hacer. Vea mi respuesta a una pregunta similar para obtener una explicación de los métodos de suma generalizada.

Answer 4

Srikanth Krishnan respondió dando la prueba de que 1-1 + 1-1 + … = 1/2 y dejó la pregunta a la mano como un ejercicio para el lector. Entonces intentemos una prueba. (Esta prueba es rigurosa bajo el sentido de suma a la que se refería Ramanujan, y en el sentido en que uno puede continuar analíticamente la función zeta).

X = 1-1 + 1-1 +… = 1/2
Y = 1 + 1 + 1 + 1 +… =?
Y = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 +…
2Y = 0 + 2 + 0 + 2 +…
X + 2Y = (1 + 0) + (- 1 + 2) + (1 + 0) +… = 1 + 1 + 1 +… = Y
X = -Y
Y = -1 / 2