Teoría de números: ¿Existencia de una ‘a’ con orden de ‘a’ módulo p = p-1?

Answer 1

Si. En términos algebraicos, lo que se pregunta es si existe un módulo raíz primitivo n para todos los primos n. De hecho, existe uno (llamado generador) para cada grupo cíclico de orden 2, 4, p ^ k y 2 * p ^ k (para todos los k). Dado que un generador genera todos los elementos p-1 (no se puede generar 0 mod p) del grupo Z / pZ, entonces, según el principio del palomar, el primer elemento que puede ser 1 debe ser del orden p-1, ya que de lo contrario , el generador se generaría antes de generar 1, lo que sería una contradicción.

por ejemplo, suponga que un generador g genera todos los miembros del grupo G (enteros mod p)
entonces g ^ 1, g ^ 2, g ^ 3, … g ^ (p-1) es una permutación de los elementos de G.
Ahora, suponga que g genera 1 para algunos k <p-1, es decir, g ^ k = 1 (mod p) para k <p-1. Entonces, g ^ (k + 1) = 1 * g = g = g ^ 1 (mod p). Entonces, g ^ (k + 2) = g ^ 2 (mod p), g ^ (k + 3) = g ^ 3 (mod p), y así sucesivamente. Al ver que la secuencia generada por g se ha repetido (y se repetirá para siempre), entonces g ^ i debe haber generado todos los elementos p-1 para i = 1,2,3, …, k. Sin embargo, desde k <p-1, esto es imposible, y por lo tanto, la suposición de que k <p-1 debe ser falsa.

Answer 2

Si; de hecho, hay [math] \ varphi (p – 1) [/ math] como [math] a [/ math], y en general para una [math] d \ big | p – 1 [/ math] el número de elementos del módulo del grupo multiplicativo [math] p [/ math] con el orden [math] d [/ math] es [math] \ varphi (d) [/ math] (donde [ math] \ varphi [/ math] es la función totient de Euler).

Boceto de prueba: el orden de cada elemento divide el orden del grupo, por lo que podemos dividir el grupo en conjuntos [math] S_d [/ math] que contienen todos los elementos con un orden preciso [math] d [/ math] donde (como antes) [matemáticas] d \ big | p – 1 [/ matemáticas]. Primero puede mostrar que cada uno de los [math] S_d [/ math] está vacío o de orden [math] \ varphi (d) [/ math] y luego que [math] \ displaystyle {\ sum_ {d \ big | p – 1} \ grande | S_d \ big | = \ sum_ {d \ big | p – 1} \ varphi (d)} = p – 1 [/ math] para que, de hecho, todos tengan cardinalidad [math] \ varphi (d) [/ math].