¿Cuáles son las aplicaciones del mundo real de los hallazgos de Ramanujan?

Un trabajo de Ramanujan (hecho con GH Hardy) es su fórmula para el número de particiones de un número entero positivo, la famosa fórmula asintótica Hardy-Ramanujan para el problema de la partición. La fórmula se ha usado en física estadística y también se usa (primero por Niels Bohr) para calcular las funciones de partición cuántica de los núcleos atómicos . El problema se describe brevemente a continuación:

El problema original en la teoría de números, el de la partición de un número tiene una rica historia. El problema es que, dado un entero positivo n, una partición es una forma de anotarlo como una suma de enteros positivos. Por ejemplo, para 10, una partición es 6 + 4. Uno está interesado en descubrir todas las formas posibles de hacerlo para un número.

Elija un número pequeño, digamos 4. Luego, está claro que hay 5 formas de hacerlo. (4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1). Tenga en cuenta que el orden no es importante, es decir, 1 + 1 + 2 y 1 + 2 + 1 son la misma partición. Usamos la notación P (n) para representar el número de particiones de un número entero n. Así P (4) = 5, de manera similar, P (7) = 15.

Si comenzáramos a enumerar las particiones para números más grandes, incluso para números pequeños como 10, ¡comenzaríamos a ver que hay una explosión combinatoria! Para ilustrar esto considere P (30) = 5604 y P (50) = 204226 y así sucesivamente. (por cierto, las particiones pueden ser visualizadas por Young tableau!).

Considere por un momento el famoso teorema del número primo que dio una fórmula asintótica para obtener el número de números primos que estaban debajo de un número x. Era solo una fórmula aproximada (los números que daba no eran completamente exactos y tenían error), pero incluso entonces se consideró un gran logro ya que descubrió una estructura oculta en los números primos. (El problema de la partición puede considerarse un análogo “aditivo” al de obtener factores primos en los que la operación primitiva es la multiplicación).

Se realizó una búsqueda similar de fórmulas asintóticas para el número de partición P (n) y debido a la explosión combinatoria se consideró difícil una fórmula precisa. Ramanujan creía que podía llegar a una fórmula precisa a pesar de que se consideraba extremadamente difícil, y se acercó. Junto con Hardy, fue capaz de dar esa fórmula y Hardy lo señaló como uno de sus trabajos más importantes.

La formula es:

[matemáticas] \ displaystyle P (n) \ sim \ frac {1} {4n \ sqrt {3}} exp (\ pi \ sqrt {\ frac {2n} {3}}) [/ math]

como [math] n \ to \ infty [/ math]

Esta fórmula fue notablemente precisa, por ejemplo para p (1000), el error fue de aproximadamente 1.4%. Un número similar en ese momento se verificó a mano y tardó aproximadamente un mes (creo que fue P (200) y el error fue de aproximadamente 0.04%). Este resultado fue posteriormente mejorado por Rademacher.

Esta fórmula asintótica es algo que sin duda es útil en Física estadística y nuclear como se mencionó anteriormente en la que dichos cálculos son comunes (ver, por ejemplo: http://arxiv.org/pdf/math-ph/030… para obtener más contexto sobre uno solicitud).