Combinatoria: ¿Cuál es la prueba del número de productos distintos de dígitos posibles mediante el uso de dígitos del 1 al 9 para un número de n dígitos que sea igual a [matemáticas] {(\ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} { i})} ^ 2 [/ matemáticas]? Educación te da un futuro mejor

(Esta es una prueba completamente correcta, pero es un poco tediosa. Uno podría haber esperado una prueba más contundente con más información sobre lo que parece ser una gran coincidencia, y tal vez alguien más vendrá y encontrará algo así más tarde)

Digamos que dos números de n dígitos (sin dígitos cero) están en la misma “clase” si sus dígitos tienen el mismo producto.

Cada “clase” tiene un número más pequeño, que llamaremos su “cabeza”. Nuestro objetivo es esencialmente contar el número de cabezas de n dígitos.

Okay. ¿Qué tipo de números son cabezas?

Bueno, en primer lugar, si toma cualquier número y reorganiza sus dígitos en orden ascendente, obtendrá otro número con el mismo producto de dígitos, que será igual o menor. Entonces, las cabezas deben tener sus dígitos en orden ascendente.

Además, una cabeza no puede tener dos 2 (podríamos reemplazarlos con 1 y 4), no puede tener un 2 y un 3 (reemplazar con 1 y 6), un 2 y un 4 (1 y 8) , 3 y 3 (1 y 9), 3 y 4 (2 y 6), 3 y 6 (2 y 9), 4 y 4 (2 y 8), 4 y 6 (3 y 8), o 6 y 6 (4 y 9).

Esto deja las siguientes formas de números (se supone que todos tienen n dígitos distintos de cero en orden ascendente):

A) Números sin dígitos de {2, 3, 4, 6}
B) Números con un solo 2 y ningún otro dígito de {2, 3, 4, 6}
C) Números con un solo 3 y ningún otro dígito de {2, 3, 4, 6}
D) Números con un solo 4 y ningún otro dígito de {2, 3, 4, 6}
E) Números con un solo 6 y ningún otro dígito de {2, 3, 4, 6}
F) Números con un solo 2 y un solo 6, y ningún otro dígito de {2, 3, 4, 6}

Además, cualquier valor dado [matemática] 2 ^ x 3 ^ y 5 ^ z 7 ^ w [/ matemática] tiene como máximo una forma en que puede expresarse como un producto de un número en una de estas formas: habrá para ser precisamente [matemática] \ lfloor x / 3 \ rfloor [/ matemática] muchos 8s, [matemática] \ lfloor y / 2 \ rfloor [/ matemática] muchos 9s, [matemática] z [/ matemática] muchos 5s, y [ matemáticas] w [/ matemáticas] muchos 7s. Además de eso:

Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (0, 0) [/ math], entonces será de forma A), sin dígitos de {2, 3, 4, 6}
Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (1, 0) [/ math], entonces será de forma B), con un solo 2
Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (0, 1) [/ math], entonces será de forma C), con un solo 3
Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (2, 0) [/ math], entonces será de forma D), con un solo 4
Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (1, 1) [/ math], entonces será de forma E), con un solo 6
Si [math] (x \; \ bmod \; 3, y \; \ bmod \; 2) = (2, 1) [/ math], entonces será de forma F), con un solo 2 y un solo 6 6

(Finalmente, habrá tantos 1s como sea necesario para completar en n muchos dígitos).

Como cada cabeza es de una forma A) a F), y cada clase tiene como máximo un número en una forma A) a F), tenemos que las cabezas son precisamente los números de la forma A) a F).

Ahora, cuentemos cuántas cabezas de n dígitos hay. Para hacer esto, regresemos y veamos cuáles son nuestras formas de cabeza:

A) Esta es la forma “[matemáticas] p [/ matemáticas] muchas 1s, [matemáticas] q [/ matemáticas] muchas 5s, [matemáticas] r [/ matemáticas] muchas 7s, [matemáticas] s [/ matemáticas] muchas 8s , y [matemática] t [/ matemática] muchos 9s “, donde [matemática] p + q + r + s + t = n [/ matemática].
B), C), D) y E): Esta es la forma “[matemática] p [/ matemática] muchos 1s, [matemática] q [/ matemática] muchos 5s, [matemática] r [/ matemática] muchos 7s, [math] s [/ math] muchos 8s, y [math] t [/ math] muchos 9s, junto con otro dígito fijo insertado allí (un 2, 3, 4 o 6) “, donde [math] p + q + r + s + t = n – 1 [/ matemáticas]
F): Esta es la forma “[matemáticas] p [/ matemáticas] muchos 1s, [matemáticas] q [/ matemáticas] muchos 5s, [matemáticas] r [/ matemáticas] muchos 7s, [matemáticas] s [/ matemáticas] muchos 8s , y [math] t [/ math] muchos 9s, junto con otros dos dígitos fijos insertados allí (a 2 y a 6) “, donde [math] p + q + r + s + t = n – 2 [/ matemáticas].

Por lo tanto, si [matemática] F (m) [/ matemática] es la cantidad de formas de elegir 5 naturales que suman [matemática] m [/ matemática], entonces el número de cabezas de n dígitos es [matemática] H (n ) = F (n) + 4F (n-1) + F (n – 2) [/ matemáticas].

Finalmente, según la combinatoria estándar (vea Estrellas y barras (combinatoria) y artículos relacionados según sea necesario), [matemáticas] F (m) = \ binom {m + 5 – 1} {m} = \ frac {(m + 4)! }{¡metro! 4!} [/ Math] [math] = ((m + 4) (m + 3) (m + 2) (m + 1)) / 24 [/ math].

Por lo tanto, podemos concluir [matemáticas] H (n) = ((n + 4) (n + 3) (n + 2) (n + 1) [/ matemáticas] [matemáticas] + 4 (n + 3) (n + 2) (n + 1) n [/ matemáticas] [matemáticas] + (n + 2) (n + 1) n (n – 1)) / 24 [/ matemáticas] [matemáticas] = n ^ 4/4 + 3n ^ 3/2 + 13n ^ 2/4 + 3n + 1 [/ math] [math] = ((n + 1) (n + 2) / 2) ^ 2 [/ math].