¿Qué tan importante es conocer las pruebas matemáticas para usar las matemáticas aplicadas?

Answer 1

En casi todos los casos, estoy de acuerdo con Alon. Sin embargo, hay algunos ejemplos notables en los que algo como la simplificación de una prueba que antes era difícil de manejar ayudó a desarrollar mejores algoritmos / métodos computacionales. En estos casos, una comprensión profunda de una prueba, las técnicas utilizadas y la intuición detrás de la prueba terminan ayudando a desarrollar mejores herramientas matemáticas aplicadas.

• Detección comprimida

  Antes de saltar al caso del algoritmo inspirador de pruebas, expongamos el problema:

  Supongamos que tengo un vector [math] \ vec {s} \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] que representa la ‘señal real’ que quiero medir. Ahora en la práctica, supongamos que solo puedo hacer mediciones [math] m <n [/ math] de [math] \ vec {s} [/ math]. Esto significa que mido un vector [math] \ vec {y} \ in \ mathbb {R} ^ m [/ math]. Si sé que existe una relación lineal entre los dos vectores, entonces el objetivo es el siguiente: Dado [matemáticas] \ vec {y} + \ vec {\ epsilon} = \ mathsf {F} \ vec {s} [/ math], donde [math] F \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} [/ math] y [math] \ vec {\ epsilon} \ sim \ mathcal {N} (\ vec {\ mu} , \ mathsf {\ Sigma}) [/ math]. Suponiendo que sé [math] \ vec {y}, \ mathsf {F} [/ math], ¿qué tan bien puedo recuperar [math] \ vec {s} [/ math]?

  Terence Tao y Emmanuel Candes [0] dieron pruebas de límites de error (por ejemplo, cuantificación de ‘¿qué tan bien puedo recuperar X?’) Para la reconstrucción de [math] \ vec {s} [/ math] suponiendo que cada elemento de [math ] \ mathsf {F} [/ math] se extrajo de un gaussiano. Continuaron construyendo sobre estos resultados y demostraron más límites con el tiempo [1, 2]. Curiosamente, ha habido un montón de documentos que han utilizado las pruebas de estos límites de error como inspiración para algoritmos que pueden acercarse al límite teórico para minimizar [matemáticas] m [/ matemáticas] (Ver [3]). Si bien los algoritmos en sí mismos pueden no ser particularmente complicados desde el punto de vista de la codificación, requieren una buena cantidad de sofisticación matemática y una comprensión bastante profunda de las técnicas de prueba y, lo más importante, una comprensión de la intuición detrás de la prueba.
• Construcciones que rompen el palo de los prior bayesianos

  El ahora popular Proceso de Dirichlet (DP) tiene sus raíces tanto en el estudio de Fisher de la genética de poblaciones (ver [4] para algunos antecedentes) como en el estudio general de medidas aleatorias. Como algunos de los resultados asociados para ambas aplicaciones se remontan a la década de 1970, es natural preguntarse por qué el Proceso de Dirichlet se ha puesto de moda. Parte de la respuesta, por supuesto, es que nuestro aumento en el poder de cómputo ha hecho posible la inferencia bayesiana. Sin embargo, una de las principales herramientas que permitió la formulación bayesiana del proceso de Dirichlet fue la construcción de ruptura de palo debido a Sethuraman [5]. Esto le dio al proceso de Dirichlet un enfoque amigable con el algoritmo para construir rutas de muestra y muestreo de Gibbs de este proceso. En este resultado, encontramos que una prueba de equivalencia entre un modelo que es cualitativamente agradable, pero difícil de implementar y un modelo que es cualitativamente confuso, pero fácil de implementar, nos brinda una forma de conectar la intuición y el algoritmo. Por ejemplo, sin una buena comprensión de la construcción de Sethuraman y partes de su prueba, sería difícil desarrollar muestreadores de Gibbs eficientes para este proceso.

  Tenga en cuenta que también hay una nota negativa asociada a (la mayoría) de las implementaciones algorítmicas del muestreo de procesos de Dirichlet que cambiaría si se entendiera mejor la teoría de los antecedentes de Dirichlet. Mucha gente usa el DP con antecedentes un tanto informativos (por ejemplo, un previo no uniforme en el simplex de probabilidad) simplemente porque es algorítmicamente fácil. Sin embargo, uno debe notar el famoso resultado de Diaconis y Freedman [6] que muestra que para ciertas clases de antecedentes no informativos, el DP no es consistente y puede converger a una masa de puntos que no es igual a la distribución verdadera que uno es intentando probar En este caso, diría que si uno entendiera la teoría del proceso de Dirichlet (y sus degeneraciones), podría evitar tener que aplicar la heurística para “corregir” los resultados “aparentemente incorrectos”.

[0] (No es gratis) http://ieeexplore.ieee.org/xpl/l…
[1] (Gratis) http://projecteuclid.org/DPubS?s…
[2] (No es gratis) http://ieeexplore.ieee.org/xpl/l…
[3] (Gratis) http://prx.aps.org/abstract/PRX/…
[4] (No es gratuito) http://www.genetics.org/content/…
[5] (Gratis) http://www.seas.harvard.edu/cour…
[6] (Gratis) http://www-stat.stanford.edu/~cg…

Answer 2

Muy importante. Si desea una carrera de matemática aplicada, debe ser capaz de justificar aquellas cosas que dice ser útiles para los demás.

¿Cómo justificas esas cosas a otras personas? En primer lugar, demostrar su utilidad directamente al implementarlo y demostrar que funciona en muchos casos, esto no requiere prueba. Sin embargo, la gente querrá saber que lo que se te ocurrió es robusto, y la única forma de demostrarlo es a través de una prueba.

En mi caso (simulaciones físicas) a menudo tienes que demostrar que la simulación es estable, que la energía no explota en el tiempo (dando un resultado no físico). No hay una cantidad de simulaciones por computadora que pueda ejecutar que puedan verificar que un método sea estable aquí, la única forma de mostrar estabilidad es ejecutar la prueba y escribirla de una manera que otros puedan entenderla y creer que es estable.

Answer 3

Las pruebas, con frecuencia, no se necesitan directamente para aplicar técnicas en matemáticas. Puede resolver sistemas de ecuaciones lineales sin saber por qué cada espacio vectorial tiene una base, y puede usar transformadas de Fourier y series sin poder probar el teorema de Plancherel u otros resultados básicos en el análisis armónico.

Sin embargo, diría que la capacidad de razonar sobre la lógica y las pruebas, comprender las pruebas matemáticas y encontrarlas realmente es una parte importante de su arsenal intelectual. Comprender los fundamentos teóricos de cualquier cosa te hace un mejor usuario de esa cosa. Hasta qué punto esto es cierto en su área particular de interés realmente depende de su área de interés, pero creo que es cierto en general.

Answer 4

Si quieres convertirte en un investigador, muy importante, deberás poder crear la prueba de los modelos que haces.

Si desea trabajar en el negocio, las respuestas anteriores le dan una buena idea de por qué es importante, sin embargo.

Puedes superar una carrera sin hacer ninguna prueba tuya. Pero un buen matemático sabe cuándo puede usar un modelo y cómo valorar los modelos hechos por otros. Y para eso, necesita obtener la lógica de las pruebas como una de sus habilidades básicas (o al menos comenzar con eso al comienzo de su carrera de matemáticas).

Trabajo como econométrico / actuario. Odiaba las pruebas, especialmente porque comenzaron con pruebas x * 0 = 0, o cosas así. Parecían tan obvios. Pero 3/4 años de análisis y pruebas me dieron una base excelente, una forma de pensar, que puedes usar muchos años más allá, incluso cuando ya no pruebas nada. Le ayuda a comprender el trabajo de los demás y desarrolla el pensamiento analítico en el que probablemente ya sea bueno en un nivel aún más alto.

Es como aprender aritmética y tablas de multiplicar cuando tienes 7 u 8 años: al principio no sabes por qué tienes que aprenderlos, en el futuro ni siquiera los usas tan a menudo, pero te da una gran comprensión de matemática básica que necesitará si desea una carrera matemática la necesitará para construir pruebas :-).

Answer 5

Incluso estoy de acuerdo con el hecho de que el conocimiento de las pruebas no siempre es necesario, pero habiendo dicho eso, me gustaría agregar (basado en mi experiencia personal) que en GTR y cosmología, necesitas saber una gran cantidad de matemáticas, especialmente Lie álgebra, geometría diferencial y espacios de medidas especiales. En ese contexto, creo que el conocimiento de las pruebas ayuda mucho a abordar nuevos problemas.

Answer 6

Todas las matemáticas que se usan se aplican por definición. Leer y hacer pruebas dan la llamada ‘madurez matemática’. Muchas áreas de matemáticas aplicadas (por ejemplo, la teoría de control) tienen una gran cantidad de pruebas, y si las omite, básicamente se pierde el punto. A menudo, los problemas del mundo real no suelen satisfacer todas las suposiciones de los teoremas matemáticos, por lo que se requiere que haga un juicio y / o corrija esas diferencias entre la teoría y la realidad. Si comprende las pruebas, esto es mucho más fácil.

Answer 7

A veces, desea aplicar un modelo, algoritmo o resultado en un contexto en el que se violan uno o más supuestos. Saber cómo entraron en juego esas suposiciones te ayuda a decidir si puedes salirte con la tuya y / o qué ajustes necesitas hacer.

Como ejemplo, he visto publicaciones de varias personas que intentan usar algoritmos de programación lineales o no lineales para resolver modelos que contienen restricciones como la ecuación para un círculo. Comprender el papel de la convexidad en la prueba de convergencia (y reconocer que un círculo no es convexo) les dirá si tienen alguna posibilidad.