Creo que hay dos preguntas diferentes aquí: cómo se le ocurriría a alguien la ley de grupo en primer lugar, y por qué en realidad las curvas elípticas sobre cualquier campo tienen esta ley de grupo asociativa.
Para la primera pregunta, realmente siento que la mejor respuesta es la geométrica (que obviamente solo funciona sobre los reales inicialmente, pero luego también en otros lugares una vez que escribe las fórmulas y se da cuenta de que funcionan para la mayoría de los campos).
Ahora, ¿por qué alguien conectaría dos puntos en la curva por una línea recta y buscaría la tercera intersección? Bueno, esto puede hacerse menos arbitrario si comienzas con cónicas y estudias la forma agradable en que todas las cónicas (con un punto racional) están racionalmente parametrizadas por la línea, particularmente cuando deseas entender las curvas algebraicamente (por ejemplo, encuentra sus puntos racionales) . Elija un punto, elija una línea, proyecto y listo. ¿Por qué funciona esto? Fundamentalmente, porque las ecuaciones de grado 2 tienen 2 soluciones, y además, si una de ellas es racional, también lo es la otra (dado que la ecuación misma tiene coeficientes racionales).
Es bastante razonable intentar algo similar con curvas del siguiente grado superior, y por supuesto no funciona, ya que proyectar desde un punto da otros dos puntos de intersección, y no hay nada que los haga racionales o algo agradable, por lo que las fórmulas son un poco inútiles . Te das cuenta de que si deseas encontrar un punto racional, debes encontrar alguna ecuación de grado 3 que ya tenga dos raíces racionales, lo que te da una tercera que también está obligada a ser racional. Entonces, en lugar de proyectar desde un punto fijo, deberíamos “proyectar” desde dos puntos que ya entendemos.
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Esto produce inmediatamente una forma de generar un punto racional a partir de dos puntos dados. Ahora esto se parece mucho a algún tipo de “suma”, y con un giro adicional (P + Q + R = 0 en lugar de P + Q = R cuando PQR son colineales) tiene una ley de adición real que, con mucha esfuerzo, puede probar para definir realmente un grupo.
Todo esto fue bastante rápido y puede que no tenga mucho sentido para cualquiera que no lo haya visto antes, pero realmente creo que es la mejor manera de motivar las definiciones en un curso de pregrado. Rasca la mejor manera, creo que es la única.
Esto no explica cómo alguien podría llegar a las fórmulas sin tener primero la imagen geométrica, que es lo que sucedió históricamente. No sé cómo explicar esto más que decir que Bachet debe haber sido muy creativo y haber experimentado con muchos casos especiales hasta que fue capaz de diseñar la fórmula de duplicación. Es, de hecho, bastante mágico.
Tampoco ayuda mucho con la segunda pregunta que mencioné inicialmente: ¿por qué todo esto funciona en primer lugar? ¿Por qué esta ley de adición resulta ser realmente asociativa? Las respuestas poderosas a esa pregunta se enumeran en la discusión de Mathoverflow [1] que mencionó Víctor, y todas tienen que ver con el grupo Picard o el jacobiano o el que encuentro más satisfactorio y es nuevo para mí: el grupo de clase de Robin Chapman punto de vista [2]. Ninguno de ellos parece lo suficientemente elemental como para ser accesible a estudiantes de pregrado.
¿Hay formas más simples de “ver” que las curvas elípticas deben tener una ley de grupo? Sospecho que la respuesta puede ser No. Por lo tanto, puede sentir que toda esta respuesta es solo una forma larga y sin aliento de decir “No sé”.
[1] http://mathoverflow.net/question…
[2] http://mathoverflow.net/question…