Explicaciones de Layman: ¿Por qué podemos encontrar una fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de orden cuatro pero no de orden cinco?

Answer 1

Un comentario para hacer es que podemos * solo * encontrar fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas en grados 2, 3 y 4 (o más específicamente, esos son los grados para los cuales existe una fórmula universal que involucra solo operaciones algebraicas en los coeficientes). Entonces, en cierto sentido, la verdadera pregunta es: “¿Por qué * podemos * encontrar fórmulas en los grados 2, 3 y 4?”. Y la respuesta corta es que esos números son tan pequeños que no hay simetrías complicadas de las raíces.

Dado que la idea de simetrías aquí podría estar saliendo del dominio de los términos laicos, permítanme decir un poco sobre eso. Piensa en polinomios cuadráticos [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática]. La fórmula para las raíces en este caso se llama fórmula cuadrática y dice que las raíces son:
[matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a} [/ matemáticas]
donde Δ es el “discriminante” [matemática] b ^ 2-4ac [/ matemática]. Esta fórmula muestra la simetría que existe entre las dos raíces, específicamente la [matemática] \ pm \ sqrt {\ Delta} [/ matemática]. Dice que ambas raíces se pueden escribir en términos de a, b, c y una raíz cuadrada de Δ. Cualquier polinomio de cualquier grado tiene un discriminante que se puede escribir en términos de los coeficientes del polinomio (para el grado 5, por ejemplo, puede preguntar wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/inpu…). Nuevamente, las raíces estarán relacionadas con este discriminante. Esta es una forma de simetría y, sin entrar en demasiados detalles, la existencia de esta simetría, para un polinomio “aleatorio” de al menos 5 (es decir, para la mayoría de los polinomios, pero no todos), evitará que las raíces se escriban como Una fórmula algebraica en términos de coeficientes.

En caso de que alguien con cierto conocimiento del tema se pregunte a qué me refiero, permítame ser más específico sobre lo que estoy diciendo. Si f (x) tiene el grupo de Galois [matemática] S_n [/ matemática], para [matemática] n \ geq5 [/ matemática] (que es, asintóticamente a medida que el discriminante llega al infinito, 100% del grado n irreducible de polinomios), y L es su campo de división, luego el campo fijo K de [math] A_n [/ math] se obtiene al unir una raíz cuadrada del discriminante. El hecho de que L / K sea Galois, pero con un simple grupo no abeliano de Galois [matemáticas] A_n [/ matemáticas] es lo que obliga a la fórmula putativa de una raíz en términos de discriminante a no ser algebraica. Esto es lo que llamo una “simetría complicada” de las raíces (es decir, complicado = grupo simple no abeliano).

Answer 2

Opino diferente. Tenemos una fórmula para la ecuación polinómica general de orden 5. Consulte la solución de la ecuación quíntica general a continuación:

Traer radical

El problema aquí es que no tenemos una fórmula para polinomios “generales” de grado 5 y superiores que sea expresable usando los coeficientes de las ecuaciones usando algunas operaciones aritméticas limitadas (+, -, /, x, enésimas raíces, etc. .), es decir, soluciones por radicales. Es importante comprender que las formas especiales de cualquier ecuación de enésimo grado pueden tener una raíz expresable mediante fórmulas: por ejemplo, [matemáticas] x ^ n -1 = 0 [/ matemáticas].

Este fue uno de los problemas más impactantes de los tiempos resueltos por

Évariste Galois.

Tenía solo 18 años cuando proporcionó una explicación completa de cuándo una ecuación se puede resolver mediante radicales y cuándo no. Aunque muchas otras personas habían contribuido al desarrollo del conocimiento que conducía a la solución, Galois fue la persona que le dio una base sólida que condujo al desarrollo de muchos otros campos.

Aunque la explicación real es bastante profunda en términos de matemáticas, la solución tiene que ver con las simetrías ocultas dentro de las ecuaciones. Galois expone esas simetrías y da una caracterización que se requiere para conducir a una solución con radicales.

Me gusta bastante el método de Lagrange de tratar de generalizar el método de encontrar las raíces de las ecuaciones polinomiales de grado 4, 3, 2, 1. Un poco más de tiempo trabajando en este problema y él lo habría resuelto (solvencia de las ecuaciones polinómicas).

En esencia, las simetrías en la ecuación tienen que soportar una reducción del grado de la ecuación, es decir, para la ecuación cuadrática la ecuación se puede reducir a la forma lineal: [matemática] y + d = 0 [/ matemática], donde [matemática ] y = (x + e) ​​^ 2 [/ matemáticas]. Del mismo modo, una ecuación cúbica se puede reducir a cuadrática, y una bi-cuadrática se puede reducir a cúbica para obtener una solución por radicales.

Para la ecuación polinómica quintica, las personas se golpearon la cabeza tratando de reducirlo a un polinomio de orden inferior (bi-cuadrático) pero no pudieron, y Lagrange sospechó que tenía algo que ver con la permutación de las raíces (una suposición muy inteligente), ya que esto deja la ecuación original invariable pero puede conducir a formas equivalentes “solucionables”. Galois luego lo llevó adelante y demostró que la permutación de las raíces de quintic general y superior tiene una estructura que no puede reducirse a algo que se parezca a la estructura de las ecuaciones biquadráticas y de menor grado y, por lo tanto, no puede resolverse mediante radicales.

Esto de ninguna manera significa que las fórmulas que tienen otras formas pueden no existir para una ecuación polinómica de enésimo grado.

Answer 3

¡Por supuesto que podemos dar una fórmula para las raíces de un polinomio de grado arbitrario! ¿Por qué no podríamos hacerlo? Son solo funciones …

Lo que no podemos hacer es dar una fórmula que esté compuesta de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Por qué estas operaciones específicas se consideran fundamentales es simplemente histórico.

Cuando nos limitamos a estas cinco operaciones, estamos haciendo la pregunta sobre la teoría de las extensiones de campo: la suma, la resta, la multiplicación y la división son las operaciones básicas de campo, y la resolución de ecuaciones es de lo que tratan los campos de extensión (si una ecuación no no tiene una solución, ¡simplemente haga un campo más grande que contenga una solución!) Por esta razón, echar raíces está relacionado con extensiones de campo: el número [math] \ sqrt {2} [/ math] no es racional número, pero podemos tomar un campo un poco más grande donde la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – 2 = 0 [/ matemáticas] tiene una solución.

Por lo tanto, no es sorprendente que la cuestión de obtener soluciones a las ecuaciones en términos de raíces se convierta en una cuestión sobre extensiones de campos. Ahora, solo hace las cosas estándar que hacemos para analizar cualquier objeto algebraico, uno de los cuales es observar sus automorfismos. Vea la respuesta de Robert Harron para más detalles en esta dirección.

Answer 4

Aparentemente existe una fórmula para la solución de polinomios de orden arbitrario, pero presumiblemente son tan complicados que nunca se usan. Personalmente, rara vez (léase “nunca”) uso la solución simbólica para un polinomio general de cuarto orden, ya que generalmente es tan complicado que no es esclarecedor.

Lo siguiente es de Mathworld: Polynomial – de Wolfram MathWorld
“En la década de 1880, Poincaré creó funciones que dan la solución a la
Ecuación polinómica de orden t en forma finita. Estas funciones resultaron ser generalizaciones “naturales” de las funciones elípticas “.

Como otros han señalado, lo que no existe son soluciones en términos de las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación, división) más radicales.