Teoría de números: ¿encontrar los últimos tres dígitos de 2003 ^ 2002 ^ 2001?

Answer 1

Respuesta correcta : 241

La forma más fácil de resolver : Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/inpu…)

Solución:

Para averiguar los últimos 3 dígitos, necesitamos encontrar el resto de 1000

Rem [2003 ^ 2002 ^ 2001/1000] = Rem [3 ^ 2002 ^ 2001/1000]

Totiente de Euler (1000) = 1000 (1-1 / 2) (1-1 / 5) = 400
Por el teorema de Euler (http://en.wikipedia.org/wiki/Eul…)
=> Rem [3 ^ 400/1000] = 1

Ahora tenemos que averiguarlo, Rem [2002 ^ 2001/400] = Rem [2 ^ 2001/400]
= 16 Rem [2 ^ 1997/25] = 16 * (-3) = -48 = 352

Rem [3 ^ 2002 ^ 2001/1000]
= Rem [3 ^ (400k + 352) / 1000]
= Rem [3 ^ 352/1000]

3 ^ 352 = 81 ^ 88 = (80 + 1) ^ 88
Últimos 3 dígitos de los últimos 3 términos =
88C2 * 80 ^ 2 * 1 ^ 86 + 88C1 * 80 ^ 1 * 1 ^ 87 + 88C0 * 80 ^ 0 * 1 ^ 88
= —8 * 6400 * 1 + 88 * 80 * 1 + 1
= —200 + —040 + 1 = 241

Para otras cosas, puede consultar mi curso sobre Aptitud cuantitativa aquí: http://www.wiziq.com/course/5553…

Answer 2

Bueno, para averiguar los últimos tres dígitos de cualquier número, puede tomarlo (mod 1000), es decir, el resto después de dividir entre 1000. Entonces, puede encontrar los últimos tres dígitos tomando 2003 ^ 2002 ^ 2001 (mod 1000) . Esto es igual a 3 ^ 2002 ^ 2001 (mod 1000) desde 2003 es igual a 3 (mod 1000). Sin embargo, esto no es una gran reducción, ya que el uso de la exponenciación al cuadrado que aún tomaría el orden de las multiplicaciones log (2002 ^ 2001) = 2001 * log (2002).

Entonces, ¿hay alguna manera de que podamos disminuir la magnitud del exponente de 3, es decir, 2002 ^ 2001? Resulta que podemos, ya que a ^ phi (n) = 1 (mod n) para cualquier módulo n, donde phi (n) es la función totient de Euler. Ahora, utilizando este conocimiento, podemos tomar el resto después de la división por phi (1000), que es 400. Entonces, 2003 ^ 2002 ^ 2001 = 2003 ^ x (mod 1000), donde x es 2002 ^ 2001 (mod 400). Nuevamente, esto es igual a 2 ^ 2001 (mod 400) desde 2002 es igual a 2 (mod 400). Puede repetir esto hasta la conclusión hasta que cada base sea menor que el módulo y cada exponente sea menor que phi (n), aunque determinar phi (n) no siempre es tan simple (ya que requiere una factorización prima del módulo n), entonces no es necesariamente más eficiente.

De todos modos, ya puede ver que el número de multiplicaciones se ha reducido de 2001 * log (2002) a log (400) + log (2001), el primer término para el exponente reducido de 2003 y el segundo para el exponente de 2002. Usando los métodos descritos anteriormente, debería poder determinar la solución con bastante facilidad.

Answer 3

Pregunta:

Teoría de números: ¿encontrar los últimos tres dígitos de 2003 ^ 2002 ^ 2001?

Respuesta: para los últimos tres dígitos solo tenemos que preocuparnos por los últimos tres dígitos, de modo que del número 2003 solo necesitamos “003” o 3.

completamente resuelto en Excel:
1er paso:

ponga esa fórmula como se muestra en A2 y arrástrela hacia abajo durante unos segundos (5-7)
Para arrastrar hacia abajo, coloque el cursor en la esquina inferior derecha hasta que vea el signo “+” y luego arrastre hacia abajo. Esta lista le dará los últimos tres dígitos de potencias de “3” y la potencia relevante que se muestra en el número de fila.

2do paso:

Coloque esa fórmula como se muestra en B1 y haga doble clic en la esquina inferior derecha de la celda cuando vea el símbolo “+”.

Cuando se desplaza un poco hacia abajo, verá que la longitud del bucle es de 100. Solo busque la primera aparición e ignore las próximas ocurrencias.
La primera parte está hecha.

SEGUNDA PARTE (relacionada con el poder que es 2002 ^ 2003):
Como en la primera parte descubrimos que la longitud del bucle es de 100, solo necesitamos averiguar cuál es el resto cuando 2002 ^ 2001 se divide por 100.

Para comenzar, como comenzamos inicialmente, solo se requiere 02 de 2002 (porque solo se necesitan los dos últimos dígitos, que es lo mismo que el resto cuando un número se divide por 100)

(02 o 2) ^ 10 = 1024,
resto cuando 1024 se divide por 100 = 24
para que podamos reemplazar 2 ^ 10 por 24.

ahora los poderes de 24 son así
resto cuando 24 * 1 se divide por 100 = 24
resto cuando 24 * 2 se divide por 100 = 76
resto cuando 24 * 3 se divide por 100 = 24
resto cuando 24 * 4 se divide por 100 = 76
.
.
.
.
para que finalmente la parte de potencia o la segunda parte se reduzca a esto

resto cuando 2002 ^ 2001 se divide por 100:
= 2002 ^ 2001
= 02 ^ 2001
= 02 ^ (10 * 20) * 2
= (24 * 20) * 2
= 76 * 2
= 152
= 52

Así que finalmente solo mira la fila número 52 y esa es la respuesta.

Answer 4

241

Si el dígito de las unidades de un número N es 3, entonces el dígito de las unidades de N ^ 2 será 9, para N ^ 3 será 7, para N ^ 4 será 1 y luego se repetirá (N ^ 5 ser 3 nuevamente, N ^ 6 será 9 nuevamente y así sucesivamente).

Para los últimos dos dígitos, se repetirá después de 20 iteraciones (por lo tanto, si N ^ 1 termina con 03, entonces N ^ 21 también termina con 03 y si N ^ 1 termina con 13, entonces N ^ 21 también termina con 13). Para los últimos tres dígitos, se repetirá después de 100 iteraciones.

Entonces, ahora necesitamos encontrar 2002 ^ 2001 mod 100 (ya que se repite después de la iteración número 100). Afortunadamente, podemos emplear un truco similar. Los dos últimos dígitos donde el nuevo número M termina en 2 se repetirán después de 20 iteraciones (con una pequeña precaución), al igual que con los 3. Entonces, 2002 ^ 2001 pasará por el ciclo de 20 cien veces y luego volverá a 1 nuevamente. Ahora, podemos calcular que debe seguir el patrón del primer número y terminar en 02. Sin embargo, si ejecuta esta prueba con 2s, encontramos que el primero termina con 02, pero M ^ 21 termina con 52 (M ^ 2 y M ^ 22 terminarán en 04 y todos los demás seguirán el mismo patrón, excepto este primer número que se bloquea en 52 después de la primera iteración). Entonces, los dos últimos dígitos de 2002 ^ 2001 son 52.

Ahora, eso significa que los últimos tres dígitos de 2003 ^ 2002 ^ 2001 serán los mismos que 3 ^ 52. Ahora, 3 ^ 12 terminará con 441, 3 ^ 32 terminará con 841 y luego 3 ^ 52 terminará con 241.

Además, esto solo funciona en la base 10. Mi cerebro está un poco frito para contemplar cómo se ve en otras bases numéricas, pero apuesto a que es un problema interesante.