No creo mucho en el valor de estos experimentos mentales, pero para lo que sea que valga, aquí está mi opinión.
Lo más probable es que se resuelva en los próximos 5 años: Goldbach. Motivo: Estamos bastante cerca (Chen Jing-Run demostró [1] que cada número par suficientemente grande es la suma de un primo y un casi primo, siendo este último un primo o un producto de dos primos). Existen argumentos teóricos conocidos [2] acerca de por qué cerrar esa brecha de primo a primo será muy difícil (por lo que la probabilidad de una solución incluso para este candidato mío de alta calificación aún es bastante pequeña).
Otra razón por la que creo que esta podría ser más fácil que, digamos, Twin Primes, es que su estructura lógica (en términos de cuantificadores) es más simple. Es posible que GC sea indecidible en Aritmética de Peano, por ejemplo, pero si ese es el caso, entonces también debe ser cierto (ya que ser falso obviamente tendría una prueba de PA, de hecho, una prueba en cualquier sistema débil de aritmética. Simplemente exhiba un ¡contraejemplo!) Entonces, si alguien demostrara (en ZFC, por ejemplo) que PA no prueba GC, también habría demostrado que GC es verdadero.
Número 2 : Primes gemelos, por ninguna otra razón que no tiene tanto en contra como los otros. Ciertamente, es menos importante / atractivo que cualquiera de los problemas a continuación, pero es lo suficientemente interesante como para llamar la atención y algunos avances recientes [3] en nuestro conocimiento de la estructura local de números primos muestran que hay una posibilidad de progreso.
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—— GRAN BRECHA EN EL REGISTRO DE LA PROBABILIDAD ——
Número N : RH. Las posibilidades están cerca de 0, pero si tuviera que hacer una apuesta extraña de RH contra PvNP, diría que PvNP está más lejos de mi alcance. Por ejemplo, en términos de estructura lógica, RH tiene el mismo estado que GC: si es falso, entonces es probable que sea falso. Esto es mucho menos obvio que para GC pero es cierto (trabajo de Robin, Lagarias [4]). Al mismo tiempo, por supuesto, es extremadamente improbable (en un sentido loco e indefinido) que la HR sea falsa, y si es verdad, es ciertamente posible (incluso probable, en ese mismo sentido loco e indefinido) que sea independiente de cualquier razonable sistema axiom con el que estamos familiarizados actualmente.
Número N + 1 : Factorización prima, si con eso te refieres a un algoritmo de tiempo polinómico para factorizar. Es poco probable (sentido loco yadda yadda) que exista un algoritmo de este tipo, y si no existe, probar que no es aproximadamente la misma escala de un desafío intelectual que PvNP (aunque sabemos que PF no es NP-Complete . Todavía.)
Número N + 2, menos probable : P vs NP. Soy escéptico de que tengamos alguna posibilidad de resolver este problema fundamental y autodestructivo [5] en los próximos milenios. No significa que debamos dejar de intentarlo.
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Che…
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Par…
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Gre…
[4] http://www.math.lsa.umich.edu/~l…
[5] http://www.scottaaronson.com/blo…