Esto es trivialmente falso para [matemática] p = 2, q = 3 [/ matemática] ya que [matemática] \ lceil \ sqrt {6} \ rceil ^ 2 = 9 [/ matemática] y [matemática] 9-6 [/ matemática ] no es un cuadrado perfecto. Sin embargo, podemos ignorar ese caso trivial.
Tampoco es cierto para muchas opciones de [matemáticas] (p, q) [/ matemáticas] que no son números primos consecutivos, por ejemplo (3, 11), (5, 19).
En general, deje que [math] p [/ math] sea el primo más pequeño. Tenemos [math] \ lfloor \ sqrt {pq} \ rfloor ^ 2 <pq <\ lceil \ sqrt {pq} \ rceil ^ 2 [/ math] entonces [math] \ lceil \ sqrt {pq} \ rceil ^ 2 [ / math] será el cuadrado más pequeño más grande que [math] pq [/ math].
La desigualdad AGM nos dice que [math] \ sqrt {pq} 2 [/ matemáticas]).
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Suponga que [math] \ left (\ frac {p + q} {2} \ right) ^ 2 [/ math] no es el cuadrado más pequeño mayor que [math] pq [/ math]. Entonces [math] pq <\ left (\ frac {p + q} {2} -1 \ right) ^ 2 [/ math]. Deje que [math] g = qp [/ math] sea la brecha entre nuestros primos consecutivos. Entonces podemos reescribir esto como
[matemáticas] p (p + g) <\ left (\ frac {2p + g-2} {2} \ right) ^ 2 [/ math]
[matemáticas] 4p ^ 2 + 4pg <(2p + g-2) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4p ^ 2 + 4pg <4p ^ 2 + g ^ 2 + 4 + 4pg – 8p – 4g [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 <g ^ 2 + 4 – 8p – 4g [/ matemáticas]
[matemáticas] 8p <(g-2) ^ 2 [/ matemáticas]
Desafortunadamente, aquí es donde me quedo atascado. Si podemos demostrar que esta desigualdad nunca se cumple, es decir, que la brecha entre primos sucesivos no puede ser mayor que [matemática] 2 \ sqrt {2p} + 2 [/ matemática], entonces hemos terminado. El resultado más conocido es el Postulado de Bertrand, que esencialmente establece que [math] g <p [/ math]. Una conjetura abierta, la Conjetura de Andrica, implicaría nuestro resultado. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/And…
Tenga en cuenta que su conjetura puede ser cierta incluso si [matemática] \ izquierda (\ frac {p + q} {2} \ derecha) ^ 2 [/ matemática] no es el cuadrado más pequeño mayor que [matemática] pq [/ matemática] . Sin embargo, tampoco sé cómo proceder en ese caso.