¿Se puede describir el Programa Langlands en términos simples?

Déjame intentarlo rápido. Seré bastante vago y me limitaré a casos especiales algunas veces. Numeraré las notas al pie entre paréntesis y las incluiré en la parte inferior.

Entonces, hay estas cosas llamadas “grupos”. Básicamente son una forma formal de hablar de simetría. Cuando te encuentras con un grupo aleatorio, es más fácil estudiarlo si lo ves como la simetría de algo. Esto se llama una “representación” del grupo. Hablaremos de un tipo especial de representación llamada “representación lineal” (pero generalmente solo se llama “representación” para abreviar, como haré en el resto de esta exégesis (¿puedo usar esa palabra aquí?) ) Esto es lo que sucede cuando un grupo se ve como las simetrías de un “espacio vectorial” (como el espacio tridimensional [math] \ mathbf {R} ^ 3 [/ math]). El ejemplo prototípico de un grupo de simetría de un espacio vectorial es el “grupo lineal general”, [math] GL (n, \ mathbf {C}) [/ math], que consiste en el invertible [math] n \ times n [ / math] matrices con entradas en los números complejos [math] \ mathbf {C} [/ math]. Y, en consecuencia, sabemos mucho sobre este grupo. [1]

Un lado del programa Langlands se ocupa de un cierto tipo de representación de un cierto tipo de grupo. Los grupos son lo que se llama “grupos algebraicos lineales reductivos (sobre los números racionales)”. Ejemplos de estos incluyen [matemáticas] SO (3) [/ matemáticas] (el “grupo ortogonal especial en tres variables”), que es básicamente el grupo de rotaciones sobre un punto en el espacio tridimensional; [math] GL (n) [/ math], que es el grupo de matrices invertibles [math] n \ times n [/ math]; e incluso el grupo de transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de cuatro dimensiones en relatividad especial. [2] La palabra lineal allí significa que son básicamente grupos de matrices. A medida que van las cosas, estos son, en cierto sentido, grupos relativamente sencillos. Al ser matrices, los grupos lineales ya vienen con algunas representaciones naturales. Pero estamos interesados ​​en algo mucho más complicado (leer interesante) que eso. Las representaciones estudiadas se llaman “representaciones automorfas” y son típicamente * infinito-dimensionales *. [3] [4] Como van las cosas, estas son representaciones bastante complicadas. Los espacios vectoriales subyacentes son espacios de funciones muy interesantes que satisfacen buenas propiedades de simetría (funciones como “formas modulares”).

Una forma de formular las conjeturas de Langlands es decir que la colección de todas las representaciones automorfas (es decir, todas estas representaciones complicadas, generalmente de dimensiones infinitas, de todos estos grupos diferentes) son en realidad solo las representaciones de dimensiones finitas de algún otro grupo, llamado el Grupo Langlands. [5] [6] Este grupo es mucho más complicado y dado que todo esto es una conjetura, no se sabe que exista. Entonces, hay algunas compensaciones donde se intercambian representaciones complicadas de un grupo de grupos relativamente sencillos por (quizás) representaciones más simples de un grupo bastante complicado. Puede pensar en esto como parametrizando estas representaciones automorfas por las representaciones de dimensiones finitas de este grupo, el grupo Langlands. Esa es una especie de punto de vista “teórico de la representación” sobre la conjetura de Langlands (y recuerde que Langlands comenzó como un teórico de la representación). Y para ser claros, la afirmación es que existe algún tipo de correspondencia entre las representaciones automorfas y la representación del grupo Langlands, por lo que, dado un tipo de cosas, se obtiene el otro tipo correspondiente. Ninguna dirección de esta correspondencia se conoce en general.

¿Dónde entra la teoría de números? Bueno, dado que los grupos algebraicos están “por encima de los números racionales” y, como se menciona en la nota al pie [4], realmente estamos viendo los “puntos adele” de estos grupos algebraicos, ya hay algo de “aritmética” (otra palabra para ” teoría de números “) continúa. Pero aquí está el enlace * enorme *: el grupo Langlands debería estar bastante cerca de algo llamado el “grupo absoluto de Galois de los números racionales”. ¿Que es esta cosa? Bueno, es el grupo de todas las simetrías de las raíces de todos los polinomios (cuyos coeficientes son números racionales). Entonces, como el nombre intenta implicar, esta es básicamente la madre de todos los grupos de simetría de la “aritmética” de los números racionales. Para tener una idea de lo que es este “grupo de Galois”, piense en la fórmula cuadrática: las raíces de [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt { b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]. Esa [matemática] \ pm [/ matemática] refleja una simetría en las raíces: si [matemática] 1+ \ sqrt {2} [/ matemática] es la raíz de un polinomio, entonces también lo es [matemática] 1- \ sqrt { 2} [/ matemáticas]. También hay una “fórmula cúbica” para las raíces de un polinomio de grado tres, que implica no solo tomar raíces cuadradas, sino también raíces cúbicas; y una “fórmula cuártica” para el grado cuatro, que también implica tomar la cuarta raíz. Sin embargo, debido a la naturaleza de la simetría de las raíces de un polinomio de grado cinco general, no hay una “fórmula quíntica” *, incluso si permite tomar la quinta raíz, la sexta raíz, etc. Esta información está contenida en el absoluto El grupo de Galois de Q y uno de los problemas centrales de la teoría de números es comprender a este grupo de Galois y descubrir sus misterios. ¿Cómo ayuda el programa Langlands? Bueno, sabemos de una representación bastante complicada del grupo absoluto de Galois de los racionales, a saber, el que proviene de su definición como el grupo de simetría de las raíces de todos los polinomios. Pero sería realmente útil tener representaciones más pequeñas y manejables. Estos son proporcionados por la conjetura de Langlands: una representación automórfica debe corresponder a una representación del grupo Langlands y dado que este grupo está cerca del grupo de Galois, en circunstancias agradables la representación automórfica nos proporcionará una representación (finita-dimensional) del Grupo absoluto de Galois de los racionales. Tal cosa se llama representación de Galois y está de moda en la teoría de números en estos días.

Una cosa más que quiero mencionar sobre el programa Langlands es la siguiente. Le proporciona una especie de correspondencia entre las representaciones de Galois y las representaciones automorfas. Ahora, hay algunas cosas que son realmente fáciles (quizás completamente triviales) de hacer con las representaciones de Galois, que bajo esta correspondencia se convierten en hechos extremadamente interesantes sobre las representaciones automorfas. Y viceversa, algunas preguntas muy importantes que hacer con las representaciones de Galois son realmente fáciles de resolver en el lado automorfo de las cosas, por lo que si sabe que las conjeturas de Langlands son verdaderas, simplemente puede mover las cosas. Como se mencionó en otra respuesta, la prueba de Wiles del último teorema de Fermat es un buen ejemplo de esto. Lo que Wiles demostró (la conjetura de Shimura-Taniyama) es decir que, para cierta representación de Galois, existe una representación automórfica correspondiente. Una solución a la ecuación de Fermat (si existiera tal cosa) daría una representación de Galois. Por el resultado de Wiles, un caso específico de las conjeturas de Langlands, entonces habría una representación automórfica correspondiente. Es “fácil” ver que esta representación automórfica no puede existir. Entonces, ese es un ejemplo de algo que es más fácil en el lado automorfo que en el lado de Galois.

Algunos comentarios más avanzados:
Lo que he discutido anteriormente es básicamente las conjeturas globales de Langlands sobre los números racionales. Estas conjeturas se expresan realmente para lo que se llama un “campo global” (los racionales son un ejemplo específico, los reales no lo son). También están las conjeturas locales de Langlands. Estos implican “representaciones admisibles” en lugar de “representaciones automorfas” y “campos locales” en lugar de “campos globales” (el ejemplo prototípico de un campo local es el campo de los números p-adic, también los números reales). Parte del programa Langlands es que debería haber algún tipo de “compatibilidad” entre las conjeturas locales y globales. También hay conjeturas relacionadas: las conjeturas geométricas de Langlands y la correspondencia local de Langlands p-adic.

Notas al pie:

[1] Esto es básicamente de lo que se trata el “álgebra lineal”, y sabemos cosas como la “forma canónica de Jordan” y el “proceso de Gram-Schmidt”. O, en palabras más grandes, sabemos sobre las “clases de conjugación” y el ” Iwasawa descomposición “.

[2] El bit “grupo algebraico” significa que, cuando pienso, digamos, en GL (n), realmente estoy pensando en ello como una familia de grupos de la siguiente manera: puedes pensar en todas las matrices invertibles con entradas que son números racionales, o aquellos con entradas que son números reales, o con entradas que son números complejos; esos son tres de los grupos de la familia. Se llaman los “puntos racionales”, los “puntos reales” y los “puntos complejos” del grupo algebraico, respectivamente.

[3] Esto significa que estamos estudiando formas de ver los grupos como simetrías de espacios vectoriales de dimensiones infinitas. Recuerde que el espacio (al menos antes del siglo XX) es tridimensional, por lo que el infinito es una gran cantidad de dimensiones.

[4] Estas son realmente representaciones de un miembro específico de la familia del grupo algebraico, a saber, los “puntos adele” del grupo algebraico. Los adeles son básicamente una versión mejorada de los números racionales que realiza un seguimiento de todo tipo de información sobre los números racionales.

[5] En términos técnicos, la afirmación es que la colección de representaciones automorfas forma una “categoría neutral de Tannakian”.

[6] Esto es una mentira como se dijo. Realmente, tienes que dividir la colección de todas las representaciones automorfas en un montón de cosas llamadas paquetes L. Cada uno de estos paquetes contiene un número finito de representaciones automorfas; no hay dos paquetes L que contengan la misma representación automórfica; y cada representación automórfica está en un paquete L Los paquetes L deben corresponder a representaciones del grupo Langlands. De esta forma, las conjeturas en sí mismas son vagas en esa parte de las conjeturas, es que hay * alguna * forma de dividir las cosas en paquetes L, pero no se da una receta específica para hacerlo.

No, realmente no puede. Puede intentar dar analogías y demás, pero realmente no se acercará a describir el programa. Incluso es razonablemente difícil describir el programa de una manera que la mayoría de los matemáticos practicantes lo entiendan. Mediante un estudio dedicado durante un par de semanas, un matemático en ejercicio probablemente podría tener una idea de lo que implica.

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Aquí, tomamos “laico” para referirse a alguien que conoce un poco de álgebra abstracta. Tenga en cuenta también que muchas personas piensan en estas conjeturas de maneras muy diferentes.

Desde mi punto de vista, el Programa Langlands es un conjunto de conjeturas que relacionan representaciones de grupos y ciertos tipos de funciones. Hay dos partes: reciprocidad y functorialidad .

Dado un campo global K y un grupo algebraico G, la reciprocidad relaciona “representaciones de Galois” (mapas del grupo absoluto de Galois de K a G) con “formas automorfas” (ciertas funciones en un espacio construido a partir de K y el grupo dual de Langlands de G )

Para describir realmente cómo se relacionan las representaciones de Galois y las formas automorfas, es necesario introducir la noción de una función L para cada lado. Bajo la correspondencia de Langlands, uno espera que las funciones L se alineen. (Algunas personas piensan que la mitad de la reciprocidad dice que “todas” las funciones L (bajo una definición adecuada) son automorfas, es decir, que provienen de formas automorfas.

La funcionalidad comprende muchas declaraciones diferentes, pero la idea es que esta relación se comporte bien (por ejemplo, usted sabe lo que sucede si cambia el campo K a un campo más grande, si cambia la representación de formas específicas o si tiene mapas entre diferentes G’s).

Para el pseudo-laico, algunos pequeños puntos de aclaración:

  • El campo global K puede ser un campo numérico (por ejemplo, todos los números racionales, o tomar todos los números de la forma a + bi donde a y b son números racionales) o un campo de función de una curva (por ejemplo, todas las funciones racionales en una variable sobre un campo finito).
  • Comprender el grupo absoluto de Galois nos da mucha información sobre el campo. Y estudiar los mapas del grupo de Galois a G (en otras palabras, representaciones lineales de un grupo) proporciona mucha información sobre el grupo de Galois (es como encontrar una forma de aproximar linealmente algo, que es básicamente todo lo que los matemáticos pueden hacer de todas formas).

El caso más básico de reciprocidad es esencialmente la teoría de campo de clase , que ya es un resultado profundo en la teoría de números. El teorema principal de la teoría de campo de clase puede considerarse como una relación aproximada de los grupos abelianos de Galois sobre un campo K con grupos de clase ideales en anillos de enteros asociados a K. La traducción de esto al formalismo de Langlands requiere la relación de funciones del grupo de clase ideal con formas automorfas. para el grupo G = GL_1.

El siguiente caso más fácil de reciprocidad sería G = GL_2 y K = los números racionales, ¡lo cual no se conoce en general! Para dar una idea de la dificultad y el alcance, el trabajo de Wiles sobre el último teorema de Fermat da una respuesta parcial a este caso. Dice que para las representaciones de Galois que surgen de cierta manera (a partir de curvas elípticas), hay una forma automórfica asociada. (La otra dirección, donde uno comienza con una forma automórfica y quiere producir una representación de Galois, se prueba en parte por el trabajo de Eichler-Shimura, Deligne, Serre, etc.)

Para alguien que quiere un poco más de detalles sobre el programa Langlands, aquí hay una buena descripción:

http://mathoverflow.net/question

Y aquí hay algunas aplicaciones más:

http://mathoverflow.net/question

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